指考複習數學篇--三角函數

[AntiForm ()]

呃...原則上我會照定理的發展順序打
證明部分有的會省略請翻課本
那如果有打錯的地方多多指教.:P
因為我自己也要考..未必有足夠的時間全打完
所以能打多少就盡量打多少 (向量實在是不好打..|||)
自己也當做是復習


另外..藍色是補充說明 白或黃是要記的部分(因為我有時會打些簡略過程)


==========基本定義分隔線

廣義角:具有大小 方向 角度不限於0~360度間的角
同界角:具有相同始邊及終邊的角
有向角:具方向性的角度 順時鍾取正 逆時鍾取負(可用右手定則記憶)

角的單位:   1度 = 360等分
          1弧度 = 半徑r的圓 圓弧長r所對的中心角
        =>1弧度 = 180度/π = 57.296度


考慮平面座標系上 以原點O為中心 半徑為r的圓 圓上的點座標P(x,y)
角θ表以正向x軸為始邊 OP線段為終邊的角
我們定義六個三角函數如下

                    函數定義域     函數值
cosθ = x/r        | θ為實數     | -1≦cosθ≦1
sinθ = y/r        | θ為實數     | -1≦sinθ≦1
tanθ = y/x , x≠0 | θ≠mπ+π/2 | tanθ為實數
cotθ = x/y , y≠0 | θ≠mπ      | cotθ為實數
secθ = r/x , x≠0 | θ≠mπ+π/2 | |secθ|≧1
cscθ = r/y , y≠0 | θ≠mπ      | |cscθ|≧1

==========三角函數基本關係式

1.倒數關係: cosθsecθ=1
            sinθcscθ=1
            tanθcotθ=1

2.平方關係: (cosθ)^2 + (sinθ)^2 =1
                    1 + (tanθ)^2 = (secθ)^2
                    1 + (cotθ)^2 = (cscθ)^2

3.商數關係: tanθ = sinθ/cosθ
            cosθ = cosθ/sinθ

4.廣義角與銳角之三角函數關係式:
      T,T' 互為正餘三角函數
      => T(kπ±θ)=±T(θ)
         T((2k+1)π/2 +θ)=±T'(θ)
      其中±由原角度對應T的值決定

==========再來先講代數的東西

1.和角公式:
           cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
           cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
           sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
           sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
                     sin(A+B)   sinAcosB+sinBcosA   tanA+tanB
           tan(A+B)= -------- = ----------------- = ----------
                     cos(A+B)   cosAcosB-sinAsinB   1-tanAtanB
                                          (上下同除cosAcosB)
                     sin(A-B)   sinAcosB-sinBcosA   tanA-tanB
           tan(A-B)= -------- = ----------------- = ----------
                     cos(A-B)   cosAcosB+sinAsinB   1+tanAtanB
                                          (上下同除cosAcosB)

2.二倍角公式: sin(2A)=sin(A+A)=2sinAcosA
  (利用和角)  cos(2A)=cos(A+A)=(cosA)^2-(sinA)^2
                              =1-2(sinA)^2    (利用(cosA)^2 + (sinA)^2 =1
                              =2(cosA)^2-1     分別代換掉 (cosA)^2,(cosA)^2 )
                         2tanA
              tan(2A)= ----------
                       1-(tanA)^2

3.三倍角公式:sin(3A)=3sinA-4(sinA)^3
  (利用和角) cos(3A)=4(cosA)^3 - 3cosA

4.半角公式: 考慮cos(2A)=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1
            令A=X/2 代入可得
            => sin(X/2)=[(1-cosX)/2]^(1/2)
               cos(X/2)=[(1+cosX)/2]^(1/2)

5.積化和差:考慮以下四式  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
                         cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
                         sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
                         sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

          由第一第二式相加減得
                cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB
                cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB

          由三和四式
                sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB
                sin(A+B)-sin(A-B)=2sinBcosA

6.和差化積:設 P=A+B, Q=A-B 則 A=(P+Q)/2 B=(P-Q)/2
           剩下就把P,Q代回上面的四式積化和差就對了
           (..我不想打就是我背不起來.T.T..每次考到都在導公式
            有沒有高手來指教一下怎麼背啊..ORZ)

7.三角函數圖形:請自己翻課本~

8.反三角函數:

  反函數: (1) f,g 互為反函數=>f(g(x))=x , g(f(t))=t
          (2) f,g 互為反函數=> f(x)與g(x)圖形對稱x=y
          (3) 函數圖形與重直x軸直線相交僅一點
              (因此定義反函數時可能要截掉圖形)
由三角函數:

Sin: [-π/2 , π/2]     → [-1,1]
Cos: [0,π]             → [-1,1]
Tan: (-π/2 , π/2)     → R(實數集合)
Cot: (0,π)             → R(實數集合)
Sec: [0,π]-{π/2}      → R- (-1,1)
Csc: [-π/2 , π/2]-{0} → R- (-1,1)

可知反三角函數:
arcsin:[-1,1]       → [-π/2 , π/2]
arccos:[-1,1]       → [0,π]
arctan:R(實數集合)  → (-π/2 , π/2)
arccot:R(實數集合)  → (0,π)
arcsec:R- (-1,1)    → [0,π]-{π/2}
arccsc:R- (-1,1)    → [-π/2 , π/2]-{0}


9.正餘弦函數的疊合: 這部分題目多算就應該ok..

==========再來是幾何的地方

考慮三角形A,B,C 邊長a,b,c

1.正弦定理:
             a      b       c
            ---- = ---- = ---- = 2R (R:外接圓半徑)
            sinA   sinB   sinC

2.餘弦定理:
           a^2=b^2+c^2-2bc cosA
          (b^2=a^2+c^2-2ac cosB
           c^2=b^2+a^2-2ab cosC)

3.投影定理: a=bcosC+ccosB
           (b=acosC+ccosA
            c=acosB+bcosA)

4.平行四邊形定理: 平行四邊形ABCD <=> (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(AD)^2=(AC)^2+(BD)2
                  簡言之就是"各邊平方和=對角線平方和"

5.三角形中線長定理: 其實中線長就是平行四邊形其中一條對角線的一半
                    而對應中線長的底邊則是平行四邊形的另一條對角線
                    又三角形另二個腰就是平行四邊形相鄰的二邊
                    所以利用平行四邊形定理去找對角線長再除二就好了 :P

6.三角形面積=(1/2)底*高
            =(1/2)ah
            =(1/2)a(bsinC)
            =(1/2)ab(c/2R)=abc/4R  (利用了正弦定理)
            =rs (r:內切圓半徑 s=(a+b+c)/2 ) ...這要解釋嗎?..|||
            =[s(s-a)(s-b)(s-c)]^(1/2) ....頂頂大名的海龍同學..

7.弧長=rθ ,θ:弧度
  扇形面積=(1/2)(r^2)θ  ,θ:弧度

==========複數與三角函數

1.複數: 高斯平面上 z=x+yi , x,y為實數 , i=(-1)^(1/2)

        規定:|z|=(x^2+y^2)^(1/2)
              z'=x-yi (其實就是共軛複數.但我打不出bar只好這樣代替)

        一些性質: z和c為二個複數:
                  (1) |z|=|z'|=|-z|=|-z'|
                  (2) |z|^2 = zz'=x^2+y^2
                  (3) |z-c|^2 + |z+c|^2 =2(|z|^2 + |c|^2)  (平行四邊形定理)
                  (4) ||z|-|c||≦|z+c|

2.複數極式: 形如 z=r(cosA + isinA) , r>0 ,0≦A≦2π , 稱之複數極式
            其中r稱為徑向 A稱為幅角

           性質:   z=r(cosA + isinA)
                   c=s(cosB + isinB)
                 (1) zc=rs[cos(A+B) + isin(A+B)]
                 (2)z/c=(r/s)[cos(A-B) + isin(A-B)]
                 (3)z=0 幅角為任意角
                 (4)z^n = (r^n)[cosA + isinA]^n
                        = (r^n)[cos(nA) + isin(nA)]  (棣美弗定理)

3.1的n次方根: z^n=1=(cosA + isinA)

             => z=[cos(2π/n) + isin(2π/n)]^m  ,  m=0,1,2,3...n=1

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有要補充or指正的也請幫忙 m(_ _)m

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