三點在面積是1的正方形中
可以在邊上
試證三點形成三角形面積最大是1/2
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렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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◆ From: 210.85.78.174
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作者: Lionfan (暑假終於結束了) 看板: KouYangMath
標題: Re: [熱血]！！
時間: Tue Jul 30 13:43:59 2002
※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: 三點在面積是1的正方形中
: 可以在邊上
: 試證三點形成三角形面積最大是1/2
假設四邊形是A B
C D
0.如果點不在邊上 將點推到邊上將使面積變大
1.如果三個點都在同一邊上 不形成三角形
2.2個點在一邊 另一個點在鄰邊 最大的三角形就是這兩邊與對角線 Area=1/2
例:a,b在CD c在AC 最大的三角形就是ACD
3.2個點在一邊 另一個點在對邊 最大的三角形面積也是1/2
例:a,b在CD c在AB 則釘住c a,b分別向C,D移動 面積將越來越大 直到到達C,D
4.3個點都在不同邊 最大的三角形面積也是1/2
例:a在CD b在AB c在BD 則釘住c A往C,b往A移動 面積將越來越大 直到到達C,A
不知道這樣可以嗎....
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◆ From: 61.224.103.174
※ 編輯: Lionfan 來自: 140.112.8.18 (07/30 16:24)
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作者: fornever (嘎！我不是熊嘎！) 看板: KouYangMath
標題: Re: [熱血]！！
時間: Wed Jul 31 00:27:54 2002
※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: 三點在面積是1的正方形中
: 可以在邊上
: 試證三點形成三角形面積最大是1/2
其實這題有點像我之前提到的證明圓內接最大三角形。
我的證明如下：
↑
│
A├──┐B
E│ │
│ │
C┼──┴D─→
F
1.三角形最大必三點座落於正方形邊上。
2.令任意一條線段EF，由三角形面積等於 (底‧高)/2 知：
欲使以 EF 為一邊之三角形面積最大其第三頂點必為B點。
3.令E(0,a) F(b,0)，則△BEF面積為 正方形ABCD ─ (△ABE + △CEF + △BDF)
即△BEF = 1-[1‧(1-a)/2 + a‧b/2 + 1‧(1-b)/2]
= (a + b - ab)/2
= [1 - (1 - a)(1 - b)]/2
4.又∵0 ≦ a,b ≦ 1 ∴ (1 - a)(1 - b)≧0
取 a = b = 1 得 △BEF之最大面積為 1/2 #
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