熱血！！

[rath (我要蓋大樓)]

Q:中心(0,0) 一焦點為(0,5√2)的橢圓被直線y=3x-2所截的弦中點的橫座標為1/2
     求此橢圓方程式

   我已經做出兩個方法了 請加油..

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              렠     任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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→ fornever:你屁！愛認真鬼沒人要！嘎嘎嘎！
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作者: fornever (我的狗叫媽嚕狗！) 看板: KouYangMath
標題: Re: 熱血！！
時間: Sat Aug  3 01:57:06 2002

※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: Q:中心(0,0) 一焦點為(0,5√2)的橢圓被直線y=3x-2所截的弦中點的橫座標為1/2
:      求此橢圓方程式
:    我已經做出兩個方法了 請加油..

  直徑式、根與係數？

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作者: rath (我要蓋大樓) 看板: KouYangMath
標題: Re: 熱血！！
時間: Sat Aug  3 02:05:36 2002

※ 引述《fornever (我的狗叫媽嚕狗！)》之銘言：
: ※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: : Q:中心(0,0) 一焦點為(0,5√2)的橢圓被直線y=3x-2所截的弦中點的橫座標為1/2
: :      求此橢圓方程式
: :    我已經做出兩個方法了 請加油..
:   直徑式、根與係數？
  算嚕 我開獎吧
  方法一 進階解法
     弦中點 (1/2,-1/2)

     且該弦斜率 = 3
                      x^2     y^2
     設橢圓方程式 :  ----- + -------- = 1
                      b^2     b^2+50
              2x       2y      dy          dy
     由 0 =  ----- + ------ X ----    ，且 --- = 3 ，過 (1/2,-1/2)
              b^2    b^2+50    dx          dx
             1      -1               3        1
    故 0 = ----  + ------ X 3  =>  ------ = -----
            b^2    b^2+50          b^2+50    b^2

    可解得  3b^2=b^2+50 => 2b^2=50 => b^2 = 25 又 a^2=b^2+50 所以 a^2=75
                     x^2    y^2
    故橢圓方程式 :  ---- + ---- =1
                      25     75

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作者: rath (我要蓋大樓) 看板: KouYangMath
標題: Re: 熱血！！
時間: Sat Aug  3 02:06:26 2002

※ 引述《fornever (我的狗叫媽嚕狗！)》之銘言：
: ※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: : Q:中心(0,0) 一焦點為(0,5√2)的橢圓被直線y=3x-2所截的弦中點的橫座標為1/2
: :      求此橢圓方程式
: :    我已經做出兩個方法了 請加油..
:   直徑式、根與係數？
   方法二 一般方法

  因為弦中點 = (1/2 -1/2)

  可假設 該弦與橢圓的一個交點為 ( α , 3α-2)

  由中點公式可知另一點為 (1-α , 1-3α)
                         y^2       x^2
  在假設橢圓方程式為 :  ------  + ----- =1 即為
                        b^2+50     b^2

  (b^2+50)x^2 + b^2y^2 = b^2(b^2+50)

  將兩點分別帶入 可得以下兩式

  (b^2+50)α^2 + b^2(3α-2)^2 = b^2(b^2+50)  ..(1)

  (b^2+50)(1-α)^2 + b^2(1-3α)^2 = b^2(b^2+50) ..(2)

  將 (1) 減去 (2) 並提公因式可得 :

  (b^2+50) (2α-1) + b^2 ( -6α+3 ) = 0

  整理 (b^2+50) (2α-1) + b^2 (3)(-2α+1) = 0

  因為 α不等於 1/2 (不然就變中點了)

  所以兩邊同除 (2α-1)的因式

  可得 b^2+50  -3b^2 = 0 => 2b^2=50 即 b^2=25 再用 a^2=b^2+50 所以a^2=75
                   x^2    y^2
  故橢圓方程式為  ---- + ---- = 1
                   25     75                QED.

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