發信人: fario@ftv.com.tw (fario), 看板: math
標 題: 數學公理
發信站: Your Organization (Wed Jun 12 10:09:03 2002)
轉信站: KKCITY!news.kkcity.com.tw!news.ee.ntu!freebsd.ntu!ctu-peer!spring!news.
Origin: 143.c210-85-131.ethome.net.tw
數學公理
以數學獨有的尋根方法去探討每條定理及定義後，不難發現出某些定理及定義均
無法證明，對於這些無法證明，大家均認為正確，而又可以用作推理依據的理論
，均稱公理。
公理(axiom):不加證明而可作推理依據的真實命題。
定義(definition):用以揭示概念的本質屬性的命題。
定理(theorem):經過証明後方可作為推理依據的真實命題。
推論(corollary):証明某定理後稍加思索便可確定的定理。
作為公理系統要滿足三點要求:
(1) 相容性----即各公理之間不存在互相矛盾的現象。
(2) 獨立性----即要求公理的條數量的少，就是不要有能被其他公理可証明。
(3) 完整性----即由定義和公理組成的公理系統，能保證不必借助直觀而純粹邏輯
推理的方法展開全部幾何學。
以下假定a,b,c為實數(real number)，加乘法的數學公理為:
1. a,b, s.t a+b=b+a
2. a,b,c, s.t (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,0, s.t a+0=a
4. a,-a, s.t a+(-a)=0
5. a,b, s.t a*b=b*a
6. a,b,c, s.t (a*b)*c=a*(b*c)
7. a,1, s.t a*1=a
8. a,b,c, s.t a*(b+c)=a*b+a*c
9. 10
10. a,b, exactly one of the three statements a < b , a = b , a > b holds
11. a,b,c, a < b & b < c a < c
12. a,b,c, a < b a+c < b+c
13. a,b,c, a < b & c > 0 ac < bc
歐幾里得定義
1. 點是沒有部分的.
2. 線只有長度而沒有闊度.
3. 一線的兩端是點.
4. 直線是它上面的點一樣的平放著的線.
5. 面只有長度和闊度.
6. 面的邊緣是線.
7. 平面是它上面的線一樣的平放著的面.
8. 平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度.
9. 當包含角的兩條直線是一條直線時,這個角叫做平角.
10. 當一條直線和另一條直線交成的鄰角彼此相等時,這些角的每一個叫做直角,而
且稱一條直線垂直於另一條直線.
11. 大於直角的角叫做鈍角.
12. 小於直角的角叫做銳角.
13. 邊界是物體的邊緣.
14. 圖形是被一個邊界或幾個邊界所圍成的.
15. 圓是由一條線包圍著的平面圖形,其內有一點與這條線上的點連接成的所有線
段都相等.
16. 而且把這個點叫做圓心.
17. 圓的直徑是過圓心而在兩個方向終止在圓周上的任何線段,且把圓二等分.
18. 半圓是直徑和由它截得的圓弧所圍成的圖形而且半圓的心和圓心相同.
19. 直線形是由線段圍成的,三邊形是由三條線段圍成的,四邊形是由四條條段圍成
的,多邊形是四條以上線段圍成的.
20. 在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各
邊不等的,叫做不等邊三角形.
21. 此外,在三邊形中,有一角是直角的,叫做直角三角形;有一個角是鈍角,叫做鈍角
三角形;有三個角是銳角的,叫做銳角三角形.
22. 在四邊形中,四邊相等且四個角是直角的,叫做正方形;角是直角.但四邊不全相
等的,叫做長方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對角相等且對邊也相等,但
邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其餘的四邊形叫做不規則四邊形.
23. 平行直條是在同平面內的直線,向兩個方向無限廷長,在不論哪個方向它們都不
相交.
歐幾里得公理
1. 各與同一個量相等的兩個量也相等。
2. 等量加等量其和也相等。
3. 等量減等量其差也相等。
4. 互相重合的量也相等。
5. 全量大於部份。
歐幾里得公設
1. 以每一點向另一點可引直線。
2. 有限的直線可以無限廷長。
3. 以任何點為圓心可用任何長度為半徑畫圓。
4. 所有的直角都相等。
5. 若兩直線和第三直線相交，且在同一側構成的兩個內角總和少於兩直角，則這
兩直線在第三直線的這一側相交。
古希臘三大難題
我們知道利用直尺及圓規按照尺規作圖規定作圖，我們所能做的有三種：
（1）過兩點連一直線。
（2）以定點為圓心定長為半徑畫圓。
（3）作兩圓，兩直線，一圓及一直線的交點。
因為直線與圓分別為一次及二次的方程式，例如直線只能做：2x+3y=6，圓只能
做：(4x-5)2+(3y+8)2=46等。所以尺規作圖只能做整數的四則運算及正數的開
方運算，換句話說，一般的尺規作圖只能做部分滿足係數為有理數的2m次方程
式的解的量；例如：x4-5x2+5=0。
現在讓我們考慮古希臘三大難題：
（一）化圓為方：假設圓半徑為1，則所求正方形面積為，即邊長x=1/2，相當於
考慮方程式x2-=0；
（二）倍立方體：假設原先的正立方體邊長為1，則所求新的立方體體積為2，即
邊長x=21/3，相當於考慮方程式x3-2=0；
（三）三等分任意角：假設原先的角度為60o，則新的角度為20o，令x=cos20o
，由三倍角公式知cos60o=4cos320o-3cos20o即考慮方程式8x3-6x-1=0；
根據上面的說明，此三題都是不可尺規作圖的。雖然有些特殊角度可以三等分，
這並不影響結論，因為原命題為任意角。
1+1=2
以下三個公設可以證明 1+1=2 .
一. next(1)=2, next(2)=3, next(3)=4 ...(自然數的定義)
二. prev(next(n))=n, if n 是自然數 (前後關係的定義)
三. m + n = next(m)+prev(n) if n1
or m + n = next(m) if n=1 其中 m,n 皆為自然數 (加法的定義)
所以 1+1=next(1)=2 .
正多邊形密鋪平面
如果該正多邊形的內角能整除 360o (即整個圓),該正多邊形便能密鋪平面
正三角形的內角為 60o ,四方形的內角為 90o ,正六邊形的內角為 120o ,由於 60o ,
90o , 120o 均能整除 360o ,故正三角形,四方形,正六邊形能密鋪平面
正八邊形的內角為 135o ,而 135o + 135o + 90o = 360o , 故正八邊形加上四方形
能密鋪平面
正 12 邊形的內角為 150o ,而 150o + 150o + 60o = 360o ,故正 12 邊形加上正三
角能密鋪平面
羅巴切夫斯基定理
1. 平行線間的距離不是固定的，而是向對平行的方向無限的接近。
2. 對於同一直線的垂線和斜線不一定相交。
3. 兩條不相交的直線被第三條直線所截，同位角不一定相等。
4. 三角形的高不一定相交。
5. 對於不在同一直線上的三點，不一定能作一個圓。
6. 三角形三內角之和少於二直角。
7. 不存在相似而不全等的三角形。
8. 不存在矩形。
黎曼(1826-1866)
1. 位意兩直線必相文於一點。
2. 三角形的內角之和大於二直角，但是三角形面積俞少，內角之和俞接近二直角
。
3. 黎氏幾何三角形有和球面三角形完全一樣的面積公式。
4. 黎氏平面整個有一個有限的面積，這個平面雖無邊界但又不是無限大的平面。
群(group)
假設G是一個集合(set)eG
是一個數學符號像{+,-,*,/}或者自己作一個新的。
G是一個群必須包括以下三個條件
(1)結合群(associativity)
a,b,cG , s.t (ab)c = a(bc)
(2)單位元(the idenity element)
eG , aG , s.t ea = ae = a
(3)逆元(the inverse element)
aG , bG, s.t ab = ba = e
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.6.92