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標 題: 從數學史上的“三次危机”談現代科學的局限性
發信站: Your Organization (Wed Jun 12 10:15:27 2002)
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從數學史上的“三次危机”談現代科學的局限性
◎鐘延
數學作為現代科學的基礎，一直被人類視為“最完美的科學”、“現代科學的無
冕之王”，推崇倍至。然而，許多人不知道數學史上曾發生過“三次危机”，而
第三次危机至今也沒有得到最終的解決。這一事實本身就証明了現代科學的局限
性。
數學史上的第一次危机發生在公元前580～568年之間的古希腊，數學家畢達哥
拉斯建立了畢達哥拉斯學派。該學派的成員希伯索斯根据勾股定理（西方稱為畢
達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數
，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事
。嚴重地衝擊了當時希腊人的傳統見解。使當時希腊數學家們深感不安，相傳希
伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危机。這場危机通過在几
何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個几何線段，如果存在一個第三線段
能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的
一邊与對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。
很顯然，只要承認不可通約量的存在使几何量不再受整數的限制，所謂的數學危
机也就不复存在了。不可通約量的研究開始于公元前4世紀的歐多克斯，其成果
被歐几里得所吸收，部份被收人他的《几何原本》中。
第二次數學危机發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理
論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危机。微積分的形成給數學界
帶來革命性變化，在各個科學領域得到廣泛應用，但微積分在理論上存在矛盾的
地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型
的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；
第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，
在力學和几何學的應用証明了這些公式是正确的，但它的數學推導過程卻在邏輯
上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？
如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳
細而有系統地發展了极限理論。柯西認為把無窮小量作為确定的量，即使是零，
都說不過去，它會与极限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的
量，因此本質上它是變量，而且是以零為极限的量，至此柯西澄清了前人的無窮
小的概念，第二次數學危机被視為基本解決。
第三次數學危机，發生在十九世紀末。當時英國數學家羅素把集合分成兩种。第
一种集合：集合本身不是它的元素，即AA；第二种集合：集合本身是它的一個
元素A A，例如一切集合所組成的集合。那么對于任何一個集合B，不是第一种
集合就是第二种集合。假設第一种集合的全体构成一個集合M，那么M屬于第一
种集合還是屬于第二种集合。如果M屬于第一种集合，那么M應該是M的一個元
素，即M M，但是滿足M M關系的集合應屬于第二种集合，出現矛盾。如果
M屬于第二种集合，那么M應該是滿足M M的關系，這樣M又是屬于第一种集
合矛盾。
以上推理過程所形成的悖論叫羅素悖論。由于嚴格的极限理論的建立，數學上的
第一次第二次危机已經解決，但极限理論是以實數理論為基礎的，而實數理論又
是以集合論為基礎的，現在集合論又出現了羅素悖論，因而形成了數學史上更大
的危机。從此，數學家們就開始為這場危机尋找解決的辦法，其中之一是把集合
論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅
，他提出七條公理，建立了一种不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數
學家弗芝克爾的改進，形成了一個所謂無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理
系統。在 ZF 里面區分了類聚(class)和集合(set)。類聚是大到不能含于其它集合
或類聚的集合，集合是較多限制的類聚。根据 Neumann 的說法，集合不容許引
起矛盾，但可以當做其它類聚的元素。
ZF 的公理系統已能把集合論拓展到符合古典分析的應用，也能防止悖論的出現
，至少迄今無人在這套理論中發現悖論。但這套公設化集合論的一致性從未完全
被証明過。關于此點，Poincare 有一段貼切的比喻：“我們已用圍牆把一群羊圍
住，以防止野狼的入侵。但我們不知這圍牆內是否早已有野狼的存在。”
所謂一致性，也可稱為相容性，協調性或非矛盾性，即指一公理体系內的各個公
設之間在有限的邏輯推理下不會導致矛盾。很顯然的，如果一個系統內的公設是
相互矛盾的，那么這個公理系統將無任何价值可言。當數學被視為是自然的真理
時，互相矛盾的定理是不可能發生的。因此一致性也就成了無稽之談。但自從非
歐几何興起后，它与實体感覺格格不入，而引起一致性的問題。至1800年代，人
們逐漸意識到算術和歐氏几何并非真理，這使得研究它們的一致性變成十分重要
的事。Hilbert 曾在假設算術公設是一致的情況下，成功地建立了几何的一致性
。這是所謂的相對性証明。他在 1900年的巴黎演說中提出著名的二十三個數學
問題，其中集合論的連續統假設和算術的一致性分列第一，二個。Hilbert 強調
這是數學基礎中十分重要的問題。他還樂觀地認為，必能在有限的邏輯步驟下，
証明算術系統的絕對一致性。Pringsheim 也說過：“數學所探尋的真理就是一
致性。”
除了一致性的問題之外，為了証明良序原理，Zermelo 在集合論中引入了選擇公
理(axiom of choice, AC)。許多數學家認為這個公理是有瑕疵的。選擇公理的大
意是說在一由任意多集合所組成的集合族中，必可從其每一集合中挑選一元素組
成一集合。如果這集合族是有限的，那么這樣的挑選是顯然的。但在一無限大的
集合族中進行這樣挑選的可行性就倍受質疑。這個公理的必要性和獨立性在一段
相當長的時間里懸而未解。
Godel 于1937年証明了Zermelo 集合論導不出Hilbert 第一問題“連續統假設”
不成立。奇怪的是，Cohen在1963年卻証明了Zermelo 集合論導不出“連續統假
設”是成立的。由于連續統假設是現代數學中最根本，最基礎的問題，他們的結
果令數學家們感到很惊异。所以說用現代數學的基礎是不可能窮盡所有的規律的
。要真正認識宇宙的理，就超出現代數學這种工具所能探知的范圍了。
事實証明，只有跳出現有科學的局限，站在更高的境界，才能看到正真的理。“
現代人類的知識，所能了解的只是极淺的一點點而已，离真正認識宇宙的真象，
相差甚遠。”（《轉法輪》“論語”）
在數學產生危机之時，數學家就試圖通過建立無需証明的公理体系化解矛盾。于
是，問題轉化成了証明公理体系的一致性。如果滿足一致性就可以將公理本身看
作為絕對的真理了。但是，事實上公理体系的一致性本身并沒有得到最終的証明
，而且這种做法還忽視了公理本身的局限性。現代公理集合論的大堆公理，簡直
難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所
以，第三次危机實質上更深刻地以其它形式延續著。《轉法輪》中提到的釋迦牟
尼佛的三千大千世界學說：其大無外，其小無內（《轉法輪》）。就拿選擇公理
來說，我們知道，從某种程度講，任意多集合根本就無法窮盡，所以從中窮盡挑
選的可能性為零。
另外，“因為不同層次存在著不同的理”（《轉法輪（卷二）》），當不同的公
理存在适用范圍的差异時，他們當然不存在完全的一致性，但是，在他們共同成
立的范圍內，一致性又是成立的。所以，數學的基礎──公理化体系本身并不嚴
格。歸根到底，數學只是一种邏輯，其合理性有很多局限性，并不是絕對真理。
數學是現代科學的奠基石，但是，它最基本的公理化体系卻存在著巨大的局限性
。那么建立于其上的實証科學本身的局限性就更顯突出了。
事實上，“如果人類能重新認識一下自己和宇宙，改變一下僵化了的觀念，人類
就會有一個飛躍。‘佛法’可以為人類洞徹無量無際的世界。千古以來能夠把人
類、物質存在的各個空間、生命及整個宇宙圓滿說清的唯有‘佛法’
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