[問題] 如何證明Gamma分配的完備性

[anovachen ( )]

節錄自96交大統研考古題

f(x;θ)=θexp{-θx} ,x>=0
X1,X2 iid於此分配
S=X1+X2
證明S是完備的

節錄某詳解的解題步驟：
S是Gamma分配(α=2, λ=θ)
E_θ(g(S))=0, for all θ>0
→
 ∞
∫g(s)sexp{-θs} ds=0, for all θ>0
 0

令g(s)=g_+(s) - g_-(s), 其中g_+(s)和g_-(s)非負。

↑為何可以這樣假設g(s)可拆成兩個函數相減？
對於任意g(s)都能這樣做嗎？

以下是我的解法:
假設前一步驟合理，接下來
 ∞                      ∞
∫g_+(s)sexp{-θs} ds = ∫g_-(s)sexp{-θs} ds
 0                       0
因為g_+(s)s的Laplace transform等於g_-(s)s的，又s>0，
所以這樣就能宣稱g_+(s)=g_-(s)了？
(並可推得E(g(S))=E(0)=0)


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◆ From: 111.255.238.16
※ 編輯: anovachen       來自: 111.255.238.16       (02/21 02:02)
推 Yogaga:用指數族(exponential family)解決較簡單
推 Yogaga:也可以期望值對θ微分，因假設E_θ(g(S))=0，對0微分還是0
推 Yogaga:微分後得到積分g(s)*(s^2)*exp(-θs) ds=0
推 Yogaga:因為s^2>0，exp(-θs)>0，所以這個積分如果要等於0
→ Yogaga:唯一的機會就是g(s)=0，for all s>0，因此得證
→ yhliu:任何函數都可以表示為其 "正部" 與 "負部" 的差. 而就機率、
→ yhliu:統計上的應用來說, 該函數 g 是 Borel function. 那麼, 拆解
→ yhliu:出來的 g+, g- 也是 Borel function.
→ yhliu:Laplace transform 的唯一決定性與 m.g.f. 的唯一決定性, 乃
→ yhliu:至 ch.f., Fourier transform 的唯一決定性等, 可說都是同樣
→ yhliu:的東西.
→ yhliu:用 "指數族" 為解題依據, 其實與用 Laplace transform 解題,
→ yhliu:本質上也是差不多的, 都是利用現成的定理, 而這些當做根據的
→ yhliu:定理, 其證明, 如果我沒記錯, 是涉及複變函數的一個定理.
謝謝!!
※ 編輯: anovachen       來自: 42.74.190.206        (02/21 23:17)