推 pigchang:離散型分配用定義就很容易導了喔~~ 08/24 02:46
→ goshfju:連這種都沒導的書應該就是一直在丟公式 @@ 要有心理準備~ 08/24 11:19
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Xt n xt
Ｍ (t) = Ｅ(ｅ ) = Σ e ．f(x)
x x=0
n xt n x n-x
= Σ e ．Ｃ ．p ．(1-p)
x=0 x
n n t x n-x
= Σ Ｃ ．(pｅ) ．(1-p)
x=0 x
t n
= [ pe + (1-p) ]
t n
=(pe + q)
1 │
1 d │
Ｅ(X) = Ｍ = ── Ｍ (t)│
0 1 x │
dt │t=0
1 │
d t n│
= ── (pe + q) │
1 │
dt │t=0
│
t n-1 t│
= n．(pe + q) ．pe │
│
│t=0
n-1
= n．(p + q) ．p = n．p
2 │ 1 │
2 2 d │ d t n-1 t │
Ｅ(X ) = Ｍ = ── Ｍ (t)│ = ── [n．(pe + q) ．pe ]│
0 2 x │ 1 │
dt │t=0 dt │t=0
│
t n-2 t t t n-1 t│
= n．(n - 1)．(pe + q) ．pe ．pe + n．(pe + q) ．pe │
│
│t=0
n-2 n-1
= n．(n-1)．(p + q) ．p．p + n．(p + q) ．p
2
= n．(n-1)．p + n．p
2 2 2
= n ．p - n．p + n．p
2 2
Var(X) = Ｅ(X ) - [Ｅ(X)]
2 2 2 2
= (n ．p - n．p + n．p) - (n．p)
2
= n．p - n．p
= n．p．(1-p)
= n．p．q
※ 編輯: ji3g4al6al6 來自: 122.121.80.252 (08/23 23:03)
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作者: goshfju (Cola) 看板: Statistics
標題: Re: [問題] 二項分配的期望值
時間: Sun Aug 24 11:17:46 2008
※ 引述《ireland707 (koala)》之銘言：
: 二項分配的期望值
: 是E（X）=np，
: 變異數是V（X）=npq，
: 我看的教科書沒有寫是怎麼導出來的，
: 只有寫這個樣子，
: 這個問題應該很簡單，
: 但是我真的不懂，麻煩大家了
: 謝謝大家。
直接算也OK
n x n-x
E(X) = Σ x [n! / x!(n-x)!] p (1-p)
x=0
n x n-x
= Σ x [n! / x!(n-x)!] p (1-p)
x=1
n x-1 (n-1)-(x-1)
= npΣ [(n-1)! / (x-1)!( (n-1)-(x-1) )!] p (1-p)
x=1
(y=x-1) n-1 y (n-1)-y
= npΣ [(n-1)! / y!( (n-1)-y )!] p (1-p)
y=0
(加總後面是Bin(n-1,p)的pmf)
= np*1 = np
n x n-x
E(X(X-1) ) = Σ x(x-1) [n! / x!(n-x)!] p (1-p)
x=0
n x n-x
= Σ x(x-1) [n! / x!(n-x)!] p (1-p)
x=2
2 n n-2 (n-2)-(x-2)
= n(n-1)p Σ [(n-2)! / (x-2)!( (n-2)-(x-2) )!] p (1-p)
x=2
(w=x-2) 2 n-2 n-2 n-2-w
= n(n-1)p Σ [(n-2)! / w!( (n-2)-w )!] p (1-p)
w=0
(加總後面是Bin(n-2,p)的pmf)
2 2
= n(n-1)p *1 = n(n-1)p
2 2
E(X ) = E( X(X-1) ) +E(X) = n(n-1)p +np
2 2 2 2 2
Var(X) = E(X ) - ( E(X) ) = n(n-1)p +np -n p = np(1-p)
∴E(X)=np
Var(X)=np(1-p)
算動差有很多種方法:
tX 2
mgf : M (t) = E(e ) 則 M'(0)= E(X) , M''(0) = E(X ) <這上面的板友已經寫過了>
X X X
cgf : K (t) = lnM (t) 則 K'(0)= E(X) , M''(0) = Var(X)
X X X X
X
pgf : P (t) = E(t ) 則 P'(1) = E(X) , P''(1) = E( X(X-1) )
X X X
你可以都試看看吧~這題用上面的方法都可以算~
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※ 編輯: goshfju 來自: 61.228.211.159 (08/24 11:35)