標準版的 Chebyshev inequality 是 two-tailed, 即
P[|X-μ|≧kσ] ≦ 1/k^2
由於 X 並沒有假設是對稱的, 因此對於單尾機率不能說
P[ X-μ≧kσ] ≦ 1/(2k^2)
不過, one-sided Chebyshev inequality 可得
P[ X≧μ+kσ] ≦ 1/(1+k^2) < 1/k^2
P[ X≦μ-kσ] ≦ 1/(1+k^2) < 1/k^2
這界限比直接以雙尾機率上界當單尾機率上界好!
在初統課程, 不會去證明這些不等式. 但以前曾見到有書
本提到對稱分布之(雙尾)機率不等式 (以改進 Chebyshev
ineq.) 卻沒有提到 one-sided Chebyshev ineq. 的.
如果沒有記憶負擔(強記公式)的問題, 這單邊 Chebyshev
不等式也是頗有意思的. 例如取 k=1 時, 得
P[ X≧μ+σ] ≦ 1/2 ≧ P[ X≦μ-σ]
雖然平均數μ不是分布的真正 "中心", 但分布 "中心點"
中位數與 μ 的距離不會超過一個標準差.
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