推 wabicone:不等式...怎麼變等式了 11/02 00:16
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作者: mangogogo (mangogo) 看板: Statistics
標題: Re: 請問單邊Chebyshev不等式
時間: Thu Nov 2 09:15:48 2006
※ 引述《stata.bbs@ms.twbbs.org (開始懷疑了>"<)》之銘言：
: 原本的不等式是P(!X-u!<k*σ)=1-(1/k)^2
: 但是當E(x)=0時，就要用單邊不等式
: 請問那個單邊的Chebyshev不等式是怎推導出來的
one-side chebyshev inequality
if E[X]=0 and Var[X]=σ^2<∞
σ^2
P(X≧x)≦---------- , x>0
x^2+σ^2
x^2
≧---------- , x<0
x^2+σ^2
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first prove the inequality when x>0
proof
Let g(t)=(t+c)^2 , c>0
if X≧x => g(X)≧g(x)
E[g(X)] E((x+c)^2) σ^2+c^2
P(X≧x)≦P(g(X)≧g(x))≦--------=------------=---------
g(x) (x+c)^2 (x+c)^2
σ^2+c^2 σ^2
inf --------=----------- when c=σ^2/x using calculus
c>0 (x+c)^2 x^2+σ^2
proved
by the same method ,we can prove the inequality when x<0
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.114.192
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發信人: StatGuest.bbs@ms.twbbs.org (統計過客), 看板: Statistics
標 題: Re: 請問單邊Chebyshev不等式
發信站: 盈月與繁星 (Thu Nov 2 09:24:13 2006)
轉信站: ptt!Group.NCTU!grouppost!Group.NCTU!MaS
※ 引述《stata (開始懷疑了>"<)》之銘言：
: 但是當E(x)=0時，就要用單邊不等式
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^沒這種規定!
E[X]=0 只是推導公式時的一個簡化條件.
: 請問那個單邊的Chebyshev不等式是怎推導出來的
P[X>kσ] = P[X+t>kσ+t]
≦ P[|X+t|>kσ+t], 設 t>0
≦ E[(X+t)^2]/(kσ+t)^2
取 t 使機率上限最小.
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原本的不等式是P(!X-u!<k*σ)=1-(1/k)^2
但是當E(x)=0時，就要用單邊不等式
請問那個單邊的Chebyshev不等式是怎推導出來的
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