→ yhliu: P[X+b≧a+b] ≦ P[(X+b)^2≧(a+b)^2] provided a>0, b>0 06/26 07:07
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單邊柴比雪夫不等式指P(X-μ≧kσ)≦1/(1+k^2)，
P(X-μ≦-kσ)≧1/(1+k^2)先不談，其證明如下：
P(X≧a)≦E(x)/a
P(X≧a)
=P[X+b≧a+b]
=P[(X+b)^2≧(a+b)^2]
→P[(X+b)^2≧(a+b)^2]≦E[(X+b)^2]/(a+b)^2
設E(X)=μ=0
→E[(X+b)^2]/(a+b)^2
=[E(X^2)+2bE(x)+b^2]/(a+b)^2
=E(X^2)+b^2/(a+b)^2
=σ^2+b^2/(a+b)^2
=[(σ^2/a^2)+(b^2/a^2)]/[1+(b/a)]^2
設σ^2/a^2=S，b/a=T
→[(σ^2/a^2)+(b^2/a^2)]/[1+(b/a)]^2
=(S+T^2)/(1+T)^2
foc=2T/(1+T)^2-2(S+T^2)/(1+T)^3=0
T-(S+T^2)/(1+T)=0
(T+T^2-S-T^2)/(1+T)=0
T=S
→(S+T^2)/(1+T)^2
=(S+S^2)/(1+S)^2
=S(1+S)/(1+S)^2
=S/(1+S)
=(σ^2/a^2)/[1+(σ^2/a^2)]
設a=kσ
→(σ^2/a^2)/[1+(σ^2/a^2)]
=[σ^2/(kσ)^2]/{1+[σ^2/(kσ)^2)]}
=(1/k^2)/[1+(1/k^2)]
=1/(1+k^2)
→P(X≧a)≦1/(1+k^2)
=P(X≧kσ)≦1/(1+k^2)
=P(X-μ≧kσ-μ)≦1/(1+k^2)
因μ=0，故P(X-μ≧kσ)≦1/(1+k^2)，不知道這樣對不對。
不好意思，麻煩各位。謝謝！
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