[問題] 由各元件失效機率估系統失效者

[saltlake (SaltLake)]

 假如有一個系統甲(串聯設計)包括一號和二號元件

 處理的時候必須先讓元件一處理完成再交給元件二處理

 元件一的失效機率是 A, 元件二的是 B

 兩個元件的失效機率部會互相影響

 請問這樣條件下 系統甲的失效機率是?

 如果系統是用乙的設計(並聯設計)

 工作處理的時候可以利用元件一或元件二

 利用元件一處理的機率是 p, 元件二 (1-p)

 這時候系統乙的失效機率是?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.141.66.53
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推 allen1985: 可以試著把你的答案寫出來嗎 想看看你的想法是什麼
 一串獨立事件的機率是個別事件機率的乘積

 但是在這邊顯然不適用 要不然在串聯的時候 元件二的失效機率是一的話

 整個系統的失效機率就不是一...

   另一個對串聯的"想法"是 對每個元件 成功的得分是一 失敗則零分

 所以單一元件的成功期望值是 1*p1+0*(1-p1) = p1 和單元件的成功機率相同

 串聯的兩個元件狀況則是把個別元件的個別狀況成功期望值相乘 最後加總

 所以是 1*p1*[ 1*p2+0*(1-p2) ]+0*(1-p1)*[ 1*p2+0*(1-p2) ] = p1*p2

 如此易見在 N 個元件串聯的情狀下 系統成功機率是 Pi( p_k, k = 1 to N)

 當系統的元件越多而越複雜的時候 系統最終成功的機率越小 和直覺相合

 但是不知如何證明這種想法正確否

   並聯的狀況 首先承襲上面的成敗期望值做法

 假設有 2 個元件 因為"走"任一元件的機會相同 所以走元件一的期望值

 是 1/2*[ 1*p1+0*(1-p1) ] = p1/2  顯然元件二的期望值是 p2/2

 系統總共的期望值是 (p1+p2)/2

  一般而言 有 N 元件的並聯系統的成功期望值是 sum( p_k/N, k = 1 to N )

 = sum( p_k, k = 1 to N )/N

 上面的和是 N 個小於 1 的數之加總 故必小於 N

 因此系統的成功期望值或者說總成功機率 是小於 N 的數除以 N 而必小於 1

 至少合於機率的定義

  但問題仍在於無法"證明"這種想法的正確性

※ 編輯: saltlake (61.228.128.80), 06/05/2015 11:39:21
推 celestialgod: 系統甲算A失效或B失效的機率， 系統乙算AB都失效的
→ celestialgod: 機率
推 allen1985: 如C大說的 這題沒這麼難 如果C大的提示 你還算不出來
→ allen1985: 等等再給你答案
 依然無法從提示求解

 如何在串連時單獨計算元件一(或A)所導致系統失效的機率?
※ 編輯: saltlake (61.228.128.80), 06/05/2015 12:21:52
推 allen1985: 你最後這句的問題 跟原文的問題又不一樣了喔
→ allen1985: 最後這句是條件機率
→ yhliu: 既然兩元件失效與否不獨立, 則僅有個別失效率是不夠的.
→ yhliu: 需要兩元件同時失效機率, 設以 C 表示. 則並聯系統之失效率
→ yhliu: 就是 C; 而串聯系統失效率是 A+B-C.
→ yhliu: 但如非真正並聯, 而是如說明的, 機遇性地使用元件一或二,
→ yhliu: 那麼, 兩元件失效與否是否獨立並不影響結果, 失效率是
→ yhliu: pA+(1-p)B.
→ yhliu: 真正的 "並聯" 系統應是: 只要系統中一元件正常, 整個系統
→ yhliu: 就正常. 並不是如說明那樣以某個機率選用元件一, 另個機率
→ yhliu: 選用元件二.