[問題] poisson process

[warex14 (航)]

題目：

For a Poisson process with rate λ, find P[ N(s)=k | N(t)=n ] when s<t.

我自己是這樣寫，但是好像不對
 P[ N(s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(s)+N(t-s)-N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(t)       -N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[  n         -N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(t-s)=n-k  ]

我想應該是哪邊觀念有錯吧...

然後上網看到別人寫的答案是這樣解的：
利用P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
所以P[ N(s)=k | N(t)=n ]*P[N(t)=n]=P[ N(t)=n | N(s)=k ]*P[N(s)=k]
移項之後
P[ N(s)=k | N(t)=n ]=P[ N(t)=n | N(s)=k ]*{P[N(s)=k]/P[N(t)=n]}
                     ──────────
底線這項等於
P[ N(t-s)=n-k ]

他這裡沒有很詳細但我猜過程可能是
P[ N(t)=n | N(s)=k ]=P[ N(t)-N(t-s)+N(t-s)=n | N(s)=k ]
                    =P[ N(s)       +N(t-s)=n | N(s)=k ]
                    =P[  k         +N(t-s)=n | N(s)=k ]
                    =P[ N(t-s)=n-k ]
但我就搞混了
到底為什麼 P[ N(t)=n | N(s)=k ]=P[ N(t-s)=n-k ]
而不是 P[ N(s)=k | N(t)=n ]= P[ N(t-s)=n-k ] 呢？






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※ 編輯: warex14         來自: 140.112.108.38       (03/10 13:47)
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※ 編輯: warex14         來自: 140.112.108.38       (03/10 16:08)
推 yhliu:P[N(t)=n|N(s)=k] = P[N(t)-N(s)=n-k|N(s)=k]
→ yhliu:   = P[N(t)-N(s) = n-k] = P[N(t-s) = n-k]
→ yhliu:中間等式是 independent increment 的結果, 最後等式是
→ yhliu:constant arrival rate 及 N(0)=0 的結果.
→ yhliu:而你的算式是無根據的.
→ yhliu:Poisson process 的 獨立增量 條件, 使得
→ yhliu:P[N(t)-N(s)=n-k|N(s)=k] = P[N(t)-N(s)= n-k], 但
→ yhliu:P[N(t)-N(s)=n-k|N(t)=n] ≠ P[N(t)-N(s)=n-k]
感謝！
※ 編輯: warex14         來自: 140.112.231.6        (03/13 01:12)