彩虹為什麼是圓的？ < 摘自科學人2004/07月號 >
台灣大學數學系教授翁秉仁回答如下：
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雨後經常可以看到的彩虹，是因為空中飄浮的小水滴就像一個個的球形透鏡，
陽光射入水滴後，經過折射、反射再折射出來，進到我們的眼睛。本來的白光
進入水滴後，會像牛頓的三稜鏡實驗一樣，因為折射而分成不同的色光，所以
彩虹才有不同的顏色。
http://www.sciam.com.tw/circus/images/200407ask-1.jpg
但是如果空氣中佈滿水滴，為什麼我們只看到一道彩虹，而不是到處都有彩
虹呢？這是因為光線入射水珠的位置，只有一個角度會讓折射出的光線強度最
大（見圖Ａ）。這就是解讀彩虹現象的最基本原理：入射光和眼睛見到色光的
視線間有一個固定的夾角。
http://www.sciam.com.tw/circus/images/200407ask-2.jpg
圖Ａ。
因此，並不是只有空中某些特別的水珠會產生彩虹，而是只有在特定角度的
水珠所折射出來的色光才能進到我們的眼睛。這個角度和不同色光的折射率有
關，例如紅光的折射率較小，夾角較大（約42°13'）；反之，紫光折射率小，
夾角就較小（約40°30'），這就造成紅色在上、紫色在下的彩虹。
因為陽光是平行入射，由上述原理和「平行線同位角相等」的定理，進到眼
中的色光會因為空氣中的水珠層厚度的增加而加強，這就是為什麼大雨後的彩
虹較清楚、小雨後的較淡薄的原因。
由於基本原理中固定夾角的限制，當太陽在我們頭上時（例如正午），折射
的光線進不到眼睛，所以看不到彩虹。必須到約下午４點以後，彩虹才會在山
巒或城市的天際線上出現，而且隨著時間越接近傍晚，彩虹的位置會越高，這
也是基本原理的應用。
根據同樣的原理，考慮以通過眼睛平行於入射陽光之直線為轉軸，旋轉在你
眼中造成彩虹的入射光線，這時進到你眼睛的折射色光，會轉出一個圓錐面。
如果入射光不平行於地面（例如下午４點時），這個圓錐面投射到我們眼裡，
看起來只是一段短圓弧。但是到了傍晚陽光平行於地面時，我們眼中的彩虹，
就幾乎是正半圓（見圖B）。
http://www.sciam.com.tw/circus/images/200407ask-3.jpg
圖B。
關於如何利用微積分推導彩虹基本原理，可參看下述網頁：
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_13_2_15/index.html ，
彩虹中的數學《 Joe Dan Austin;F. Barry Dunning 》。
大家記憶裡最深刻、最令人讚歎的彩虹，都發生在大雨後的傍晚，顏色分明
的一道彩虹，圓圓高掛在天邊，從一座山跨到另一座山。看過上面的說明，讀
者應該能夠自行解釋了吧。
彩虹是非常有趣的哲學對象，既不真的存在於外界，也不只是人類心靈的想
像，它是主客互動的產物。下次和友人看到彩虹時，請記得你們共享的是空靈
大氣、好風好雨；至於彩虹，是無法共享的。
-------------------------------------------------- 完 --------------------
http://www.sciam.com.tw/circus/circusshow.asp?FDocNo=491&CL=8
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