[問題] 振動題之其一

[Morphee (千磨萬擊還堅勁)]

    k            k
o -------- () --------o

兩小球質量m在兩側,中間一大球質量M, 用彈簧(彈力常數k)連接,

求1.特徵頻率(考試通常只考到這)
  2.振動模式 (要懂物理要解到這)

首先, 先解釋一下特徵頻率,
特徵問題是早期在說明"能量不連續"的一種數學技巧
如今被廣泛的應用在各種工程問題上
特徵值可謂之為工程中所實際測量到的值
特徵向量則是相應特徵值所代表的狀態

我舉個例子,一台販賣機,賣舒跑10元,沙士10元,可樂15元
則10元15元則代表特徵值,所對應的飲料則是特徵向量
整台販賣機就是這個問題的特徵空間

再補充說明一下, 這個問題10元是重根,對應到兩個不同的特稱向量, 所以可以對角化
可以對角化又代表什麼意義?? 要解釋這個就要扯到測不準原理,在此略.
如果這個販賣機改成舒跑10元,舒跑10元,可樂15元
則此特徵問題10元仍是重根,但僅對應一個特徵向量"舒跑"
則個問題為"兼併", 無法對角化, 有測不準的問題
(簡單說明測不準:當你花10元買了一罐舒跑,你是押了販賣機左邊的舒跑還是右邊的?)

當這系統在特徵頻率(特徵值)振動時,每個物體的振動情形就叫做振動模式,

取三球連線為x軸, 當3球偏離平衡位置時的位移依次為X1 X2 X3

第一步 寫 Eq of motion

        不難就是虎克定律

        mX1" ("代表微前面那個符號兩次) = k (X2-X1)
        MX2"   = -k(X2-X1) + k(X3-X2)                    (1)
        mX3"   = -k(X3-X2)

第二步 設

        X1=A1 *cosωt           X1"
        X2=A2 *cosωt           X2"
        X3=A3 *cosωt    求出   X3" 代入 (1)

       接下來就是A1 A2 A3的3元一次聯立方程

第三步  若希望A1 A2 A3 有 non- trivial solution (就是非零解)

        係數行列式要為零,解出ω

        解ω各位將面臨有點複雜但是只有國中程度的數學.

ω有3個,解出以後,ω1 = 0 代表不振動(trivial!)

另外兩個ω2 and ω3 大家可以帶入(1) 解出 相對應的A1 A2 A3

然後在想想他的物理,如果數學算出來的振動模式 跟

你認為系統應該出現的振動模式相符,這題你就會了!(但我相信其中還有疑問,但我認為
那是線性代數,也就是數學方面的問題了.)

解這題,若你是第一次解,花個一小時跑不掉.
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※ 編輯: Morphee         來自: 140.123.220.24       (05/08 21:56)
→ Morphee:這一題是台大那題的簡化版喔
推 sanctuary22:詳細!大推版主的解 好險我有一點LA的底子XD
推 courant:台大那題超出範圍太多...= =
推 ilsummerya:Morphee大大是神阿~~
推 Morphee:樓上的你太誇張了吧....
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作者: Morphee (千磨萬擊還堅勁) 看板: TransPhys
標題: Re: [問題] 振動題之其一
時間: Tue May 10 09:31:45 2005


針對flashmaker對這題台大難題的疑問,

他說:

1. 那題用矩陣來算要10階....只能用電腦跑了.

2. 問題是有10個mk系統....光用列出聯立就夠花時間了

我的回答是:

1.我寫出來是6*6的行列式,也就是6階,而且其中很多元素都是零阿一的,

  我認為手算夠了.  我不知道哪裡有10階的矩陣,你是用別的方法嗎?

2.6個而已吧,你也不用列聯立阿,你可以用分量,

  如果你有學電磁學,你應該知道我再說啥吧? 用分量寫只要一個式子!

  或是您是大2以上物理系,可試用理論力學解之.



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◆ From: 140.123.220.24
→ hydest:6X6沒錯啦
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作者: Morphee (千磨萬擊還堅勁) 看板: TransPhys
標題: Re: [問題] 振動題之其一
時間: Thu May 12 03:47:36 2005


※ 引述《flashmaker (什麼!!什麼!!什麼!!)》之銘言：
: ※ 引述《Morphee (千磨萬擊還堅勁)》之銘言：
: : 針對flashmaker對這題台大難題的疑問,
: : 他說:
: : 1. 那題用矩陣來算要10階....只能用電腦跑了.
: : 2. 問題是有10個mk系統....光用列出聯立就夠花時間了
: : 我的回答是:
: : 1.我寫出來是6*6的行列式,也就是6階,而且其中很多元素都是零阿一的,
: :   我認為手算夠了.  我不知道哪裡有10階的矩陣,你是用別的方法嗎?
: : 2.6個而已吧,你也不用列聯立阿,你可以用分量,
: :   如果你有學電磁學,你應該知道我再說啥吧? 用分量寫只要一個式子!
: :   或是您是大2以上物理系,可試用理論力學解之.

: 其中是有相依方程式嗎...?! 才變成6階矩陣的嗎...?!
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沒有，這題寫出來就是六階，

: 如果是6階...那特徵值妳算多少....我還沒有算....<6個嗎...?!
:　
　特徵值有六個，但是其中有簡並態。

 我看到這題...是一一個把每個質點的牛頓方成寫出
:
的確是這樣，不過質點只有６個不是嗎？

　 應該可以列出10個(因為題目有10個MK系統)
: 再利用矩陣去找她的特徵值特徵向量....這也只是我的思路罷了
: 因為我還沒有下手去動她....因為看到10階我就覺得有點倦了

我說的分量形式，只是說，
你寫出來有六個微分方程，都長得很像，何不給他下標，寫成一條通式，
我會提到電磁學，是因為電磁學給我們很多下標運算的訓練。

題外話，我最近有空都在想這題的相關，
不管是這題或是我給的振動題，都很有研究的價值，
這題是苯環模型，我那一題可做CO2的振動模型，這是理論上的應用。
另外這種力學題目，是發展某些量物觀念的基礎，讓我比較了解簡並態的概念，
一個觀念可以成為另一個觀念的注釋.

阿，又扯遠了.







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