※ 引述《claymath (小說)》之銘言：
: (x-2)^2 y"+3(x-2)y'+y=x
: 會解的幫忙一下吧
先假設一個y=ax^2+bx+c
則y'=2ax+b
y"=2a
將假設帶入ODE可得y=(1/4)x+3/2
這個解是nonhomogeneous的解
第二步則求homogeneous的解
也就是(x-2)^2 y"+3(x-2)y'+y=0的解
令q= x-2
則原式可表為q的方程式 q^2 y"+3q y'+y=0 (y是q的函數)
就變成尤拉方程式
然後令q=e^t t=Ln(q)
則上式可改寫為 Y"+2Y'+1=0 (Y是t的函數)
可解得一重根的解 Y=e^-t
將t改成Ln(q) q改成x-2
則可得y=(x-2)^-1 (原式的一解)
然後再用reduction of order
令y=u*(x-2)^-1帶入原式
整理一下
可以得到一個u"+u'=0的ODE
解出得u=-e^(-x)
然後總結2個步驟的解
可以得到
y=c1*(x-2)^(-1) + c2*(x-2)^(-1) *(-e^-x) + [(1/4)x+3/2]
不知道答案有沒有錯
不過過程大致是這樣吧
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