推 Eyeba11:多謝大大，我可能還要再花時間研究研究才行 02/25 10:05
※ 引述《Eyeba11 (油炸眼球)》之銘言：
: 不好意思，在書上看到有兩題不太清楚，
: 想拜託一下看有沒有大大能了解他為什麼這樣做……
: 一、在xy平面上，a<x<2a及b<y<2b間為一金屬薄板，設此板之質量密度與坐標x成正比，
: 則金屬板之質心坐標為？
: 二、試求均質半圓板的質量中心，設a為圓半徑。
: 第一題的正解：
: 質量密度σ=kx→dm=σdA=σdxdy
: 2b 2a
: ∫xdm ∫∫xσdxdy ∫ ∫ xkxdxdy
: b a
: A. X= ─── = ────── = ───────
: 2b 2a
: m ∫∫σdxdy ∫ ∫ kxdxdy
: b a
: (7/3)k(a^3)b
: = ────── = (14/9)a
: (3/2)k(a^2)b
: 2b 2a
: ∫ydm ∫ ∫ ykxdxdy
: b a (9/4)k(a^2)(b^2)
: B Y= ─── = ─────── = ──────── = (3/2)b
: m (3/2)k(a^2)b (3/2)k(a^2)b
: 我知道求質心公式是 x = (1/m)∫xdm，
: 但是為什麼他這題連分母的m都當成dm代入σdxdy呢？
因為它的質量密度與x成正比，
你要算出它的總質量就只有很直觀的這麼積分才做的出來
: 還有，如果m在分母的話，積分不是直接變成㏑m了嗎？
分子積分是分子的事，分母積分是分母的事，
你應該再去了解公式的意義是什麼
: 第二題的正解：
: a
: ∫ydm = ∫yσdA = ∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2
: 0
: a^2
: (令u = y^2) ∫σ(√(a^2-u))du = (2/3)σa^3
: 0
: ∫ydm (2/3)σa^3
: → 質量中心 = ─── = ────── = (4/3π)a
: M σ*(1/2)πa^2
: 為什麼這題不用像上題那樣，
: 直接把M也代入σA，反而只要在最後算完∫ydm再直接除以M就可以了呢？
你可以這麼做不過還要去積分較麻煩，用更簡單的作法不是更快嗎
: a
: 另外，我想知道為什麼∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2
: 0
dy^2=2ydy
: 雖然這似乎是屬於微積分的範圍，但是這畢竟是物理的題目，
: 所以就一起po在這了……
: 我知道過程可能有點繁複，
: 不過還是希望有好心人能為我解惑……感激不盡。
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