[考古] 93台大普物第二題

[no1shenming (小鉻~心想事成)]

題目是這樣：

如圖，6個質量均為 m 的小球串在光滑圓環上，彼此間用彈力常數為 k 的彈簧相連，
整個系統在水平面內。當小球處在平衕位置時，彈簧為原長。試求特徵頻率？

不會畫圖 orz......
但這題一直看不懂，特徵頻率是什麼？記得老師有解工數時講到一個叫
什麼特徵方程式什麼的，是用解工數的方法算嗎？  不懂~~

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◆ From: 125.233.128.181
推 flabbypig:建議可參考314篇和22篇
推 COBRAS518:我也搞不懂所謂的"特徵頻率"  = =+
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作者: xyz2k (~~!!) 看板: TransPhys
標題: Re: [考古] 93台大普物第二題
時間: Tue Jul  4 11:06:19 2006

※ 引述《no1shenming (小鉻~心想事成)》之銘言：
: 題目是這樣：
: 如圖，6個質量均為 m 的小球串在光滑圓環上，彼此間用彈力常數為 k 的彈簧相連，
: 整個系統在水平面內。當小球處在平衕位置時，彈簧為原長。試求特徵頻率？
: 不會畫圖 orz......
: 但這題一直看不懂，特徵頻率是什麼？記得老師有解工數時講到一個叫
: 什麼特徵方程式什麼的，是用解工數的方法算嗎？  不懂~~

方法一

mx"1=-k(x1-x6)-k(x1-x2)
mx"2=-k(x2-x1)-k(x2-x3)
...
...
mx"6=-k(x6-x5)-k(x6-x1)

try solution B1*exp(iωt), B2*exp(iωt),... ,B6*exp(iωt)

(2k-mω^2)B1-kB2-kB6=0
(2k-mω^2)B2-kB3-kB1=0
...
...
(2k-mω^2)B6-kB1-kB5=0

以B1,B2...B6 為index得到一個matrix, λ=mω^2

|2k-λ  -k     0     0    0     -k  |
| -k   2k-λ  -k     0    0      0  |
|  0    -k   2k-λ  -k    0      0  |
|  0     0    -k   2k-λ  -k     0  |
|  0     0     0    -k   2k-λ  -k  |
| -k     0     0     0    -k   2k-λ|

解出他的eigenvalue 得到λ = 0, k, k, 3k, 3k, 4k
所以他的eigenfrequency ω = (k/m)^(1/2) * (0, 1, 1, √3, √3, 4)


方法二

總動能 T = (1/2)m*(x'1^2+x'2^2+x'3^2+x'4^2+x'5^2+x'6^2)
總位能 U = (1/2)k*((x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x3-x4)^2+(x4-x5)^2+(x5-x6)^2+(x6-x1)^2))

|Aij - mij*ω^2|  i,j 為matrix index

        dT                dU
mij = ───   ,  Aij = ───
      dxi dxj           dxi dxj

同樣得到如方法一的matrix

解得相同的eigenfrequency


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※ 編輯: xyz2k           來自: 220.140.100.214      (07/04 11:09)
推 Morphee:辛苦了
推 Morphee:簡潔有力阿
推 no1shenming:哇~強耶，這不是大二以上的做不出來吧？
推 xyz2k:這在marion裡面都有寫啊 還有我都快畢業了 沒事就來解題啦