[考古] 97中興

[henry9621205 (清心小子)]

一個質量為M的質點.在一維位能v(x)=-ax^2+bx^4中運動.其中a和b是正的常數.
假設此質點在位能之最小值處做簡諧運動.求質點震盪的角頻率w.

謝謝！

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推 Jasonbon:這是我考的那一年XDDDD 我忘了我這題有無作對XDDD
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作者: r19891011 (弧形) 看板: TransPhys
標題: Re: [考古] 97中興
時間: Sat Jun 12 22:38:52 2010

※ 引述《henry9621205 (清心小子)》之銘言：
: 一個質量為M的質點.在一維位能v(x)=-ax^2+bx^4中運動.其中a和b是正的常數.
: 假設此質點在位能之最小值處做簡諧運動.求質點震盪的角頻率w.
: 謝謝！
                    2              _____
因為v'(x)=-2x(-a+2bx )=0 時，x=±√a/(2b)
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不過很顯然v是偶函數，只要討論其中一個(很顯然x=±√a/(2b)時v都是最小值)就好

                                     3              ______
所以等於說我們要解(至少是討論)Mx"+4bx -2ax=0 當x→√a/(2b)
有點不幸的是這個ODE我不會解XD
               3                    2
而且就算忽略4bx 這項(也就是v(x)≒-ax )的話
解出來也會是(實)指數函數而不是會有週期性震盪的三角函數

其實這種題目就是考你近似的技巧(也就是F≒-kx，當然x>0)
我知道有的作法是做二項式或泰勒展開再來一連串的約分化簡

在此我想提供一個奧步
        ______
令x=y+√a/(2b)，當然y→0
               ______             ______   2
F=Mx"=My"=-2(y+√a/(2b))*(-a+2b(y+√a/(2b)) )=-4ay+…

所以和一般的彈簧(系統)類推，k=4a
        ___
所求=2√a/m

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→ henry9621205:太感謝了！！
推 hanabiz:cool