→ explore:沒有什麼小於不小於5度的，簡諧震盪的單擺角度趨近於零， 10/13 18:49
→ hs2649:你把sin或cos函數用泰勒展開然後帶值進去，通常在小於五度 10/15 20:55
→ hs2649:誤差才在能接受的範圍內 10/15 20:55
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作者: BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴) 看板: TransPhys
標題: Re: [力學] 如何確認單擺角度"必"<5度?
時間: Fri Oct 12 19:34:18 2012
※ 引述《lirick42 (卡賓depon)》之銘言：
: 請問一下，是否有什麼方式可以確認單擺的角度必<5度的方式??
: 雖然有找過許多資料，但是似乎都只有講為何要<5度~
: 那是否有方法可以確認單擺的角度是<5度呢??
－－－－－－－－－－－－－－－－－ 定為零位能處（U = 0）
│↖
│ ↖
│θ ↖ 繩張力 T
繩長 L │ ↖
│ ●
│ ↓ 重力 mg
│ ↓
●
（平衡位置）
（１）首先建立運動方程式（Equation of Motion）
[ 法一 ] 採受力分析，以牛頓運動定律列關係式
By Newton's 2nd Law
- ( mg )( sinθ ) = ( m )( L )( θ'' )
then θ'' + ( g/L )( sinθ ) = 0
此非 Simple Harmonic Motion
[ 法二 ] 採能量分析，以力學能守恆列其關係式
ΣE = ΣK + ΣU
2
= ( 1/2 )( m )( Lθ') + ( -mg )( L )( cosθ )
By The Law of Conservation Of Mechanical Energy
（過程中僅受重力作用，非保守之繩張力恆為法線力，
法線力作功為０。）
E' = 0 then we have
( m )( L )( θ' )[ ( L )( θ'' ) + ( g )( sinθ ) ] = 0
then θ'' + ( g/L )( sinθ ) = 0
此非 Simple Harmonic Motion
（二）討論與求解此一微分方程
上述方程並不滿足簡諧運動之型式，
但若當 θ-> 0 時，由極限概念可知 sinθ -> θ
此時有 θ'' + ( g/L )( θ ) = 0
滿足 Simple Harmonic Motion
_______
且知自然角頻率 Wn = √( g/L )
_______
所以 T = ( 2pi/Wn ) = 2pi √( L/g )
－－－－－
由上述運動方程式可得知，
只有在角度極小時，單擺運動才滿足簡諧運動型式，
你所說的 5 度僅僅是「大部分人可接受的誤差值」
畢竟就算是小度小至 0.001 ，只要沒有上面的近似關係，
也不會滿足簡諧。
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