近代邏輯的發展(2)
By CP
哲學小報第六十二號
2.0 前言
上回我們說到亞里斯多德的三段論雖然具有威力，其適用的範圍仍顯侷限，
但近代邏輯一開始卻非為了彌補三段論的不足而生。
很有趣地，要談到近代邏輯的產生，我們得從非歐幾何的發展開始談起。
2.1 歐幾里德的第五公設（平行公設）
歐幾里德的《幾何原本》，由定義、公理、公設與命題（包括作圖與定理）四個部分
組成，以前三者為基礎，依據邏輯推演，證得命題。
他列出的五條公設，內容如下：
1. 由任意一點到任意一點可作直線。
2. 一條有限直線可以繼續延長。
3. 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。
4. 凡直角都相等。
5. 若一直線與兩直線相交，使同旁內角小於兩直角，則兩直線若延長，
一定在小於兩直角的兩內角的一側相交。
這第五公設有何特別呢？長久以來，數學家們發現第五公設相較前四個公設要顯得
冗長許多，而且似乎它也不像前四公設那般顯而易見。一些數學家並且留意到歐幾
里德遲遲到了證明第二十九個命題時才第一次使用到第五公設；換言之，沒有第五
公設我們同樣可以獲得《幾何原本》裡的前二十八個命題。[1]
於是數學家就猜測，為什麼，會出現這個情形？難道說前二十八個命題與第二十九
個命題相較，簡單太多？事實似乎並非如此，在前二十八條命題的證明裡頭，我們
發現有的要比命題二十九的證明還要來得複雜。
那到底是為什麼呢？有些數學家開始思索這樣的問題：究竟第五公設的地位為何？
它有沒有可能不作為公設，而只作定理呢？亦即，我們能否由前四個公設來證出第
五公設？這是幾何發展史上，爭論了兩千多年的問題。
2.2 非歐幾何的衝擊
由於這個問題一直沒法獲得解決，答案似乎指向「第五公設確實是個獨立的公設，
無法由其他公設導出」；但是否可以其他不同的公設來取代第五公設？倘若捨棄第
五公設，對我們的系統會帶來什麼影響呢？整個系統是否仍然可以保有一致性，不
出現矛盾？
在證明第五公設的過程中，出現這類想法似乎是很自然的。在怎麼證似乎都證不出
第五公設的情況下，有人自然會想到，如果我們採用一個與第五公設相矛盾的命題
來取代第五公設，而能導出系統的矛盾的話，這就等於是以反證的方式證明了第五
公設。事實上，俄國數學家N. I. Lobachevsky（羅巴切夫斯基1792-1856）就是在
苦思證明第五公設之法的過程中，發展出他的羅巴切夫斯基幾何，這是第一個被提
出的非歐幾何系統。
羅巴切夫斯基幾何裡頭包含兩個重要的結論：
第一，第五公設無法被證明。
第二，他以「過直線外一點能作兩條直線與它平行」替代第五公設，所建立的新
公理系與歐氏幾何同樣是一個完善的、嚴密的系統。[2]
由此產生一個結果是：只要是邏輯上互不矛盾的一組假設，都可能提供一套嚴密的
公理系。[3]然而如此一來，則意謂著我們用以建立公理系的方法，並不足以確保
根據這些方法所導出的數學定理，必定具備我們原先所以為的那些精確、嚴格的特性
；因為現在我們根據同樣的方法，卻可建立不同公理系，不同公理系所導出的定理
卻相互矛盾。[4]
對數學家來說，這似乎意味著數學的公理系架構在某個地方出了差錯，數學家需要
重新思考數學的基礎。
這樣的發展，後來卻孕育出近代邏輯的花朵。
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[1] 這裡強調次序，是因為之後的命題可以由前面已證出的命題得出。比方說，
在證明第三十二條命題「任意三角形的內角和等於二直角」時，就會使用到已證出
的命題二十九「一條直線與兩條平行直線相交。則所成的內錯角相等，同位角相等
，且同旁內角的和等於二直角」。
[2] 歐氏幾何說「過直線外一點有並且只有一條直線與已知直線平行」，羅氏幾何
說「過直線外一點至少存在兩條直線與已知直線平行」，但其各自都構成一個嚴密
的公理系。
[3] 德國數學家G. F. B. Reimann（黎曼1822-66）的黎氏幾何則稱「過直線外一點
不存在任何直線與已知直線平行」，其亦自成一個嚴密的公理系。
[4] 以上述歐氏、羅式、黎氏三套幾何學中的平行定理來看，就很明顯，依據公理
系方法，這三套幾何各自成立，過直線外一點不可能既「有並且只有一條直線」、
「至少存在兩條直線」、又「不存在任何直線」與已知直線平行的。
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