近代邏輯的發展(3)
By CP
From 哲學小報第六十三號
3.0 導言
一八四七年，英國數學家Boole發表The Mathematical analysis of Logic一書，
受其影響，邏輯開始發展成一套嚴格的數學系統，在此之前，邏輯學不出三段論的
範疇，在此之後，美國的Peirce、德國的Schroder、義大利的Peano等人都受到Boole
代數邏輯的影響，各自創立不同的符號邏輯系統；從此邏輯學不再只包含三段論一種
邏輯，而是有許多不同的邏輯系統，邏輯學發展至此邁入一個新的紀元。我們將在
3.2介紹近代邏輯不同以往三段論邏輯的特色。但在此之前，我們先要介紹一下當代
符號邏輯之父Frege。
3.1 當代邏輯之父Frege
Frege之所以被視為當代邏輯之父，是因為他將量詞邏輯形式化，建立一套量詞邏輯
理論。[1]
之前我們提到非歐幾何的出現，使得數學的基礎受到動搖；數學的公理系架構奠立在
公理（其為真）以及嚴格推論法則這兩基礎之上，由此推導出其他定理，非歐幾何告
訴我們根據相同的基礎，卻可建立出不同公理系，在不同公理系中推導出相互矛盾的
定理。
Frege雖被尊為當代邏輯之父，他在邏輯領域所進行的工作，目的卻不是為了邏輯，
而是為了數學。非歐幾何的出現，讓數學家重新思考數學的基礎；Frege相信數學與
邏輯之間的關係比起大家原先以為的要密切得多，他希望能為數學找一個穩定的基礎
，在他心目中，那穩定的基礎就是邏輯；換言之，在這樣的構想之下，邏輯是比數學
更為基礎的系統，所有在數學裡頭為真的命題，都可被化約為邏輯真的命題。在哲學
史上，這樣的主張被稱為「邏輯主義」（logicism）。
Frege很快發現，傳統的三段論邏輯無法滿足他的需求，「我們需要新的邏輯」。
3.2 新邏輯的特色
近代發展出來的新邏輯是「複數的」邏輯，相較於以往那個「邏輯等同於三段論」的
時代，在新邏輯時代裡，我們用「邏輯」兩字泛指許多各自獨立、不同的邏輯系統。
總歸來說，我們可以整理出以下幾點特色，這是三段論未具備的：
(1)有一套不同於日常語言的形式語言L。
(2)在L中，語法與語義清楚地區別，語法（類似於自然語言裡頭的文法）僅規定什麼
樣的語式在L中是合法的語式，語式的意義則屬語義的範疇。
(3)在L中，區分邏輯符號與非邏輯符號，前者包括具有固定意涵的連詞（如「和」、
「若……則……」等），後者的意涵則不固定，隨不同的解釋而改變。在這兩者之外
，還有一類符號代表變元（variable）。[2]
(4)區分對象語言與後設語言，我們在後設語言中談論被談論的對象語言L。
(5)區分邏輯系統的層級。命題邏輯包含邏輯連詞。命題邏輯加上個項變元
（particular variable）與量詞（quantifiers，如「所有的」、「有些」等）
就成為一階邏輯（first-order logic）。一階邏輯再加上函值變元（function
variable）或關係變元（relation variable），量詞作用的範圍包括這些變元
，則成為二階邏輯（second-order logic）。[3]
(6)決定邏輯系統的數值為何，是二值（比方說「真」、「假」）或是三值甚至
多過三值？是否要遵守排中律（the excluded middle）？（古典邏輯保留排中律，
直覺主義邏輯（intuitionistic logic）則否。）
(7)設定L的後設理論，比方說：那些結果在我們的邏輯系統中可被證明為真？
對於沒有接觸過邏輯的人來說，上述這些特性或許看來抽象，接下來，就讓我們簡單
舉一個例子，實際來看看這些特性如何在邏輯系統裡頭運作。
首先，我們會需要建構一個形式語言L，L主要由兩個部分構成：
（A）字母（alphabet）—那些符號在這個語言中算數？（例如，「C」是英文的
alphabet，但「Γ」不是，Γ不屬於英文的任何部份。）
（B）語法規則—告訴我們在這個語言裡頭，這些字母要如何組合才算數？
我說，我的L要有這些字母：
用來表達命題的字母P、Q、R；連接詞~、→；其他符號（、）。
然後我說，在這個L裡頭：
所有用來表達命題的字母都成一句話（formula）；
如果x是話，那~x也算話；
如果x、y都是話，那（x→y）也算話；
除此之外，其他的東西在L裡頭都不算話。
根據以上這些規定，我們就可以說，在L裡頭：
P、Q、R、~P、~~ Q、（P→R）、~（（P→R）→Q）都成話，但Q~、→Q、X則
什麼都不是，後者不屬於L這個語言。
以上是語法的部分。
至於語義，我可以規定：
在L裡頭只有兩種值：0與1，每個命題字母的意義不是0就是1；
若x為0，則~x為1；若x為1則~x為0；
若x與y同值，則（x→y）為0；若x與y不同值，則（x→y）為1。
藉著這樣的方式，每一個在我的L裡頭寫得出來的句子，都有了意義。
當然，這樣一個L除了好玩之外，沒有什麼有意思的功能，不過它仍然包含了上述
我們提到的那些特性。你能夠根據上述提到的那些特性，辨別這個L的屬性嗎？它
是那個層級的邏輯系統？它是幾值的邏輯系統？你能從上述描述中區分出那些屬於
對象語言，那些屬於後設語言嗎？^_^
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[1] 1879年，Begriffsschrift（英文譯本譯為Conceptual Notation and Related
Articles）。
[2] 不同邏輯學家發展的邏輯系統，即使同一個概念也可能用不同的符號表示，新
邏輯裡頭使用的許多概念並不是新的，但建構一個新的語言，用符號表達這些
概念，這樣的方式卻是新的。
[3] 在此，區分的核心概念是：「在這邏輯裡，我們談的對象有那些？」比方命題
邏輯處理的對象是命題與命題之間的推論關係，而加上量詞之後，我們就可以
處理包含量詞的對象，如「所有的人都是動物」，從命題的角度來看，這是一
個命題『p』，但從量詞的角度來看，這個句子就可以被表達為『(x)Hx→Ax』
（Hx 指「x是H」，Ax指「x是AxH」）。至於到了二階或二階以上的多階邏輯，
我們處理的對象又不一樣，我們所使用的語言L也會增添新的符號表達這些多出
來的對象（比方說，如果你的邏輯裡處理到的對象包括關係，你就要有關係變元
來表達「關係」。）
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