近代邏輯的發展(4)
By CP
哲學小報第六十五號
4.0 前言
在上一篇主題連載中我們提到新邏輯的一些特徵，這些都是在這一百多年當中，
邏輯這門學科逐漸發展得出的結果。新邏輯是現在大學基本邏輯課教授的主要內
容，我想一般在學校裡修過這堂課的朋友對於那些概念應該不會太陌生。然而，
若將時間拉到新邏輯剛開始發展的一百多年前，我們大概要稍微發揮一下想像力
；在那個時代，沒有網際網路，連旅行、書信往返都不如現在方便，就連電話，
也是剛剛過去這個世紀的新產品；在這樣的情況下，學者之間的資訊交換比起現
在是緩慢很多的，雖然他們彼此之間還是會因為對共同的問題感到興趣，而注意
彼此的研究與研究結果，但更多的情況是在不同的地域埋頭從事自己的研究。
因為歐氏幾何面臨的挑戰，數學家為了重新為數學尋找一個穩定的基礎，漸漸發
現原有的推論工具不敷使用，開始發揮創意，將數學推向更抽象的層次，將符號
與對符號的解釋區分開來，並且發明新的符號來代表新的概念。不同的數學家在
著作中可能使用不同的符號來代表相同的概念，這是很常見的現象，現在大家比
較普遍使用的符號，很多是因為容易排版、外觀簡潔，所以流通比較迅速，才為
較多人所接受、所使用。
新邏輯的一個特色就是符號化，這也是它為何被稱為「符號邏輯」的原因。許多
人一提到符號邏輯，就有「看到這些符號就頭大」的反應，因為那似乎不是我們
一般熟悉的表達方式，但是將邏輯符號化，確實可以幫助我們「透析」事理，讓
事物之間的關係更容易被顯露出來。
4.1 建構一個一致的系統
現在我們或許對於對象語言與後設語言的區分感到十分熟悉，這可以推溯到數學
家David Hilbert（1862-1943）在1922年第一次提出的後設語言概念。他試圖建
構一個一致的（亦即沒有矛盾的）系統，在他看來，要建構這樣一個系統，第一
步工作便是將意義與符號區分開來，將整個演繹系統中，所有與意義有關的東西
都拿掉，只留下符號，以及運算這些符號的語法規則；於是，現在這整個系統，
在我們加諸解釋、賦予符號意義之前，只是一堆空洞的符號字串。他相信如果我
們可以建立這樣一個一致的系統，然後透過在後設系統中對之給予適當的解釋，
就能在這個系統中確保住「真」這個性質。
我們可以以Bertrand Russell與Alfred Whitehead在Principia Mathematica（
《數學原理》，1910年初版發行，1925年修訂版發行）一書中，所提出的公設系統
作為例子。[1]首先，我們需要作的是，將所有派上用場的符號都列出，它們是我
們在這系統中所使用的「字彙」；其次，我們需要規定語法規則，字彙間什麼樣的
組合可以算是一個「合法的」命題，什麼樣的組合不行；再來，便是需要規定推論
規則，指明了如何從這命題推導出其他命題；最後便是要挑選幾條必要的公理。
在這個系統中，他們使用的「字彙」包括用來代表命題的基本符號：p、q、r，以及
代表連結詞的符號：‘~’（「非」，否定的意思）、‘v’（「或」）、‘→’（
「若……則……」）[2]、‘‧’（「和」、「以及」）。
根據這個系統的語法規則，每個代表命題的基本符號本身都是一個命題；若‘s’是
一個合法命題，則‘~s’也是一個合法命題；若‘s1’與 ‘s2’是命題，則
‘s1 v s2’ 、‘s1 → s2’、 ‘s1 ‧ s2’都是合法的命題；除此之外，沒有其
他命題。
Russell和Whitehead使用兩條推論規則，一個是替代規則（Rule of Substitution）
，根據這條規則，我們可以將一個命題中所有相同的命題符號同時以其他的命題符號
來替換[3]；另一條規則是分離規則（Rule of Detachment，這條規則又稱Modus
Ponens），根據這條規則，從s1與s1 → s2，我們可以推得s2。[4]
再加上下面四條公理，便完成了這個公設系統。
(1) (p v p) → q
(2) p → (p v q)
(3) (p v q) → (q v p)
(4) (p v q) → (( r v p) → (r v q))
這還不夠，我們希望它是一個沒有矛盾的系統；要如何證明這樣一個系統不會出現矛
盾呢？沒有矛盾意謂的是，我們不會從s推導出~s。要如何證明這樣的情形在這個系
統中不可能發生呢？
根據這個系統，p → (~p → q) 是一個定理（亦即，可從公理與推論規則推導得之
（有興趣的人可以自己推論看看））。讓我們假設，s與~s都可在此系統中被推導出
，然後我們用s替換p → (~p → q)中的p，得出s → (~s → q)，根據分離規則，從
s與s → (~s → q)，我們可以得到~s → q，然後再一次根據分離規則，從~s與
~s → q，可以得出q，這意謂著q在這系統中是一個定理；根據替換原則，我們可以
用任何命題去替換q，這結果意謂的是，這個系統可以推導出任何命題。
但是我們並不希望我們的系統可以推導出任何命題，因為這樣一來，它就無法排除
矛盾，我們期望我們的系統是一個一致的、不容許矛盾出現的系統；我們希望它可
以推導出某些命題，然後將其他與這些命題矛盾的命題，都排除在外。
要如何達到我們所希望的這個結果呢？我們必須證明：至少有一個命題是這個系統
證不出來的。（換言之，證明不是所有的命題都能由這個系統證出。）
要如何證明這一點呢？Russell和Whitehead想出一個很聰明的策略，他們說，「我們
要找到一種性質，是那些我們想要保留在系統中的命題所具有的，同時是那些我們希
望摒除在系統外的命題所欠缺的；如果這個性質在推論過程中都確定會被保留下來，
那麼我們便可以透過推論來篩選出我們想要的命題，得到我們想要的系統。」他們意
想中擔負這個責任的性質是「套套句」（tautology），根據定義，一個命題是套套句
，意指的是，它在任何可能的情況下都為真。[5]只要證明這個性質不會受推論規則影
響，會在推論過程中被保留下來[6]，我們便可以完成下列這個證明：
(1) 這個系統每一個公理都是套套句。
(2) 套套句這性質不會在推論過程中被抵消。
(3) 每一個從公理中推導出的（也就是定理）都是套套句。（從(1)與(2)）
(4) 因此，那些不是套套句的命題，也不會是這個系統的定理。（從(3)）
(5) 我們可以找到一個不是套套句的命題。（比如：p v q）
(6) 這個不是套套句的命題，不會是這個系統的定理。
(7) 但如果這個系統不一致的話，每一個命題都會是它的定理（亦即，每個命題
都可由此系統導出）。
(8) 因此，這個系統是一致的。（從(5)、(6)、(7)）
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[1] 在此需要稍加說明的是，在Russell與Whitehead的系統中，他們並未提出
後設語言的概念。Principia Mathematica的目標是為了將數學化約到邏輯上
，試圖以邏輯作為數學的基礎，他們並不認為我們可以在邏輯之外還有什麼邏
輯的「後設」系統；後設語言的概念要一直到1922年才由Hilbert提出，現在
在邏輯中許多重要的定理都是後設定理（比方說系統的一致性、完備性等）。
在本文中，筆者只是援引Russell與Whitehead的系統作為一致性公設系統的例子。
[2] 因為我打不出他們原本使用的那個符號，所以用這箭號替代。
[3] 舉例來說，原來的命題是(1) p v p，我們可以用q取代其中所有的p，替代後的
命題成為(2) q v q，從(1)到(2)便是使用這條替換規則；或者從(1)到(3)
(p v p) v (p v p) （用(p v p)去替換(1)中的p），這也是使用這條替換規則
。這條規則使用的限制在一定要全部換，以這個例子來說，若是只換其中一個，
得到(4) p v q便不是一個被允許的替換。
[4] 例如，根據這條規則我們可以從p v p和(p v p) → p推出p。
[5] 我們可以用真值表檢驗一個命題的真假值，根據語法規則：（T與F表不同的兩
個值）
p ~p
T F
F T
p q p v q p → q p ‧ q
T T T T T
T F T F F
F T T T F
F F F T F
根據真值表，四個公理都是套套句（亦即，在每一列結果中都是獲得T值）。
[6] 有興趣的朋友可以自己嘗試看看要如何證明這一點。
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