推 RitsuN:我依稀記得是 axiom 不是邏輯系統 ?_? 12/28 21:13
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: qtaro (請愛用直行書寫機) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [閒聊] 有高手可以講一下哥德的不完備性定理嗎?
時間: Thu Dec 29 00:09:00 2005
※ 引述《clouddeep (獨行道)》之銘言：
: ※ 引述《realove (realove)》之銘言：
: : Godel's incompletness theorem大概在講什麼
: : 有人可以說一下嗎 謝~
: 一個邏輯系統不能用來證明自己成立，
: 就是自己不能用來證明自己。
: --
: 有錯請指正
好像也不是錯，但似乎沒講到重點…
板上一定有高人，我先拋磚引玉吧。
羅素和懷德海合作的《數學原理》(PM)有一個很特別的目標：
希望可以用最最基本的形式邏輯公理系統，再加上整數和相繼性公理
就演繹出所有可能的數學真理，這些真理自然是以「定理」的形式表述的。
因此，這代表了某派數學哲學的想法：所謂「基礎論」，fundamentalism。
如果任何在上述系統內為真的數學定理，
都可以在此系統下被證明，那就滿足了所謂的「完備性」。
哥德爾在研究 PM 的時候，發現了羅素和懷德海的系統不能滿足完備性。
因此他就發表了那篇驚天地泣鬼神的經典文章：
<Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica
und verwandter Systeme I.> (我記得有線上英譯，用 on formally
undecidable propositions 搜尋看看)
依照前述完備性的要求，哥德爾必須證明至少有一個命題在 PM 的系統裡為真
但是卻沒有辦法在 PM 系統中被證明。
他實際的證明，技術性特強，所以我當然是看不懂的；
如果你跟我一樣都沒辦法看這種東西
還是可以花點時間讀一下前言和結論(沒符號的部分)
因為這樣大概就可以知道他的基本想法：
想辦法構造出 (比方說) 這樣一個命題：
命題 G：命題 G 是不可證明的
如果 PM 可以證明命題 G，那命題 G 就是假的
(因為它可以證明，所以自相矛盾)
如果 PM 不能證明命題 G，那命題 G 就是真的，可是這樣子就不滿足完備性。
接下來只要說明，命題 G 和 PM 的系統相一致，因此為真，不完備性就成立。
哥德爾一開始只是要說，PM 系統沒有滿足完備性
但後來他又 (我忘了是誰，可以看一下哥德爾那篇論文後來的附錄) 發現
任何一個「形式邏輯 + 整數及其基本特性」的系統都不能滿足完備性
不獨 PM 系統為然。這才是我們所知的哥德爾不完備性定理。
有很多問題可以繼續討論。
其中一個就是，歌德爾的不完備定理到底有什麼了不起的？
我想最明顯的結論是，
由於「真」在這樣一個系統裡的範圍大於「可證明性」的範圍，
因此數學哲學的基礎論立場遭到了重大打擊。
此外，不完備定理在當今科學的領域裡 (特別是演算法、人工智慧等等)
也有不少有意思的應用
對此我所知甚少，只能另請高明或者你自己找書、上網研究了:P
--
"I used to be indecisive but
now I'm not so sure."
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.224.27.14
推 realove:thanks..push~ 12/29 13:22
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: citywall ( ) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [閒聊] 有高手可以講一下哥德的不完備性定理嗎?
時間: Thu Dec 29 09:41:54 2005
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_15_4_11/index.html
推薦這篇文章, 深入淺出, 學到很多
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 12.148.137.130
→ realove:thanks...push!:) 12/29 13:23