感謝眾高手的回答
如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說
There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize
first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that
given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail
that sentence if and only if it is true.
(摘錄自Richard Holton, Principled Particularism)
請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎?
上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從
"有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出
但這似乎未排除以下兩種可能性
(i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出
every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from
a finite set of infinite principles
(ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出
every true sentence in the first order arithmetic can be derived from
an infinite set of finite principles.
但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話
我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊
另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句
無法從此系統推導出
但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
得證明壓?
以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子
來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢?
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作者: citywall ( ) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [問題] 再問哥德不完備性定理
時間: Thu Dec 29 22:15:05 2005
恩 我不是高手,不過我對邏輯有興趣
※ 引述《realove (realove)》之銘言：
: 感謝眾高手的回答
: 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說
: There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize
: first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that
: given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail
: that sentence if and only if it is true.
: (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism)
: 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎?
: 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從
: "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出
: 但這似乎未排除以下兩種可能性
: (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出
: every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from
: a finite set of infinite principles
不完備定理我也不是很熟 以下是我的理解 如果有錯誤請幫忙指正
即便是無限原則的有限集合依舊無法滿足完備性的系統
所謂完備性的系統就是所有的元素都可被推導證明
那用以推導證明的基礎也就是原則 竟然不見得具備完備性!
也就是所有元素都必須可以被證明的系統 裡面有無法被證明的元素
因為即使找出了目前所有原則的原則,也是創出了另一堆待證明的非原則
無法自我消除掉 也就是說有些原則是需要靠 相信他為真他就是真而存在的
無法證明
數學理的例子就如上面的數論網頁提供的 數學歸納法
終究使用的原則性是 靠直覺認知為真 為證明的終點
(即使找到了證明原則的原則還要繼續找更基礎的原則 永遠找不完 故應該不是有限集合)
實際的例子 本身就不在應用範圍, 因為人類通常滿足於共識與知覺的解析度
而不是一鼓腦的追根究底
回到現實, 我想 法庭審案是一個類似的例子
證人要發誓 節省大家的時間
否則必須每一個證人都要追根究底的檢查他的真實度 檢查人員的真實度也要檢查....
變成無限延伸....
這個理論重要的是自於已經告訴大家 所有推論存在的系統都不完備
所以也不需要這麼拼想要找出個真理因為即使真理也沒有辦法被證明...
所以點到為止 就是結論
說到這裡 哲學也是很標準的不完備系統
說到最後 相信不相信 就看你啦
: (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出
: every true sentence in the first order arithmetic can be derived from
: an infinite set of finite principles.
我不懂的是有限原則中如何存在無限集合呢?
且無限集合推導的實作性可行嗎?
: 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話
: 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊
Richard Holton的那一段文字 和 哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性
是交集
: 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句
: 無法從此系統推導出
: 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
: 得證明壓?
ex: 0 存在
: 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子
: 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢?
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※ 編輯: citywall 來自: 12.148.137.130 (12/29 22:17)
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作者: MathTurtle (恩典) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [問題] 再問哥德不完備性定理
時間: Fri Dec 30 00:21:29 2005
我對 Godel並不很熟, 所以可能會有回答錯的地方。
僅僅分享一些個人的看法。
※ 引述《realove (realove)》之銘言：
: 感謝眾高手的回答
: 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說
: There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize
: first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that
: given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail
: that sentence if and only if it is true.
: (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism)
: 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎?
我覺得這裡講的不是incompleteness theorem,
而僅僅是說first order arithmetic is not finitely axiomatizable,
意思上面有解釋, 就是我們無法只用有限條axiom就導出裡面所有的真命題。
而incompleteness意思是, 在系統當中, 並非所有真命題都能有證明,
而兩者相關但不全相同。
: 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從
: "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出
: 但這似乎未排除以下兩種可能性
: (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出
: every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from
: a finite set of infinite principles
: (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出
: every true sentence in the first order arithmetic can be derived from
: an infinite set of finite principles.
: 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話
: 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊
我想是的。
: 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句
: 無法從此系統推導出
: 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
: 得證明壓?
這就是它厲害的地方吧, 因為incompleteness的證明不是constructive的,
也就是說, 它只能夠證明一定有這樣的語句,
但是卻不能提供出任何一個確定的例子。
: 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子
: 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢?
這個我就不敢回答了, 我猜大概是first order logic 加上 natural number吧...
而first order logic 是相較higher order logic說的,
意思是在當中不對 predicates 作 quantification,
也就是說, 你只會看到 (for all x)、(for some y)這類的,
而不會看到(for all P), (for some F)這種formula..
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◆ From: 61.229.208.109
※ 編輯: MathTurtle 來自: 61.229.208.109 (12/30 00:22)
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作者: realove (realove) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [問題] 再問哥德不完備性定理
時間: Fri Dec 30 17:58:16 2005
※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言：
: 我對 Godel並不很熟, 所以可能會有回答錯的地方。
: 僅僅分享一些個人的看法。
: ※ 引述《realove (realove)》之銘言：
: : 感謝眾高手的回答
: : 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說
: : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize
: : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that
: : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail
: : that sentence if and only if it is true.
: : (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism)
: : 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎?
: 我覺得這裡講的不是incompleteness theorem,
: 而僅僅是說first order arithmetic is not finitely axiomatizable,
: 意思上面有解釋, 就是我們無法只用有限條axiom就導出裡面所有的真命題。
: 而incompleteness意思是, 在系統當中, 並非所有真命題都能有證明,
: 而兩者相關但不全相同。
thanks...講解很清楚..^^
那我想問一下 let us call "first order arithmetic is not finitely
axiomatizable" the thesis of un-axiomatizability
那does the
incompleteness theorem logically imply the thesis of un-axiomatizability?
換句話說是不是當不完備性定理為真時 thesis of unaxiomatizability 不可能為假?
那反過來呢? does the thesis of un-axiomatizability logically imply the
incompleteness theorem?
換句話說 是不是當thesis of unaximatizability為真時 不完備性定理不可能為假
(NB:ㄟ 我這裡所關心的只是兩者間的邏輯關係 而不是它們本身的真假值, 因為很顯
然地 哥德已經證明兩者都為真 講得更清楚一點 我想知道兩者間是否有strict
implication)
: : 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從
: : "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出
: : 但這似乎未排除以下兩種可能性
: : (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出
: : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from
: : a finite set of infinite principles
: : (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出
: : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from
: : an infinite set of finite principles.
: : 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話
: : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊
: 我想是的。
: : 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句
: : 無法從此系統推導出
: : 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
: : 得證明壓?
: 這就是它厲害的地方吧, 因為incompleteness的證明不是constructive的,
: 也就是說, 它只能夠證明一定有這樣的語句,
: 但是卻不能提供出任何一個確定的例子。
cityhall板友認為有 他舉的那個例子算是嗎?
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作者: vicks (吃噴) 看板: W-Philosophy
標題: Re: [問題] 再問哥德不完備性定理
時間: Wed Jan 4 17:28:16 2006
: 無法從此系統推導出
: 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
: 得證明壓?
: 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子
: 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢?
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_10_4_06/index.html
裡面有提到
很像是平常數學分析所用到的
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