[解釋] 何謂"邊際效用"

[deathson (小米)]

          Number is the ruler of forms and ideas,
                                       and the cause of gods and demons.

                                Pythagoras of Samos (c. 582 BC – c.496 BC)

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  這篇文章的主要目的, 是要解釋討論的時候, 經常會出現的一個名詞"邊際效用",
與一些和這有關的例子.

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什麼是邊際效用...

  這邊一般討論的中所出現的"邊際效用", 指的是當一個值的增加量為固定值時, 對
當前的數值影響變化. 用實際的例子來講, 假設今天安薩身上有500g現金, memy身上
有50000g, 兩人都解了幾個每日任務, 得到了50g.

  對安薩來講, 他的現金從原來的500g變成550g,
              (550 / 500) - 100% = 10%
              也就是增加了相當於先前的10%

  對memy來講, 他的現金從原來的50000g變成50050g,
              (50050 / 50000) - 100% = 0.1%
              也就是增加了相當於先前的0.1%

  同樣增加了50g, 不過與兩個人原先的金額的比卻不一樣, 這就是邊際(遞減)效應.

  更詳細的內容請參考Wikipedia上的相關條目, 或是經濟學/微積分課本.

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邊際效用跟WoW中計算的關係是...

  這邊以Spell Hit為例, 一個完全沒有命中天賦或是裝備的Warlock, 他的Shadow
Bolt對Lv73的目標命中率是83%(這邊暫且先忽略抗性等其他因素). 假設原本一發
Shadow Bolt可以造成1000傷害; 這邊為了簡化計算, Spell Crit也設定為0%.

  當Spell Hit 83%時, 單下傷害是 1000 * 0.83 = 830
  當Spell Hit 84%時, 單下傷害是 1000 * 0.84 = 840
  當Spell Hit 85%時, 單下傷害是 1000 * 0.85 = 850
  當Spell Hit 86%時, 單下傷害是 1000 * 0.86 = 860
                         ︰

  由於這是一個線性函數, 每增加1% Spell Hit, 單下傷害"量"會增加10. 但是如果
看增加"比"的話, 其比例為:

  當Spell Hit從83%增加到84%時, 傷害增加比例是 (840 - 830) / 830 ≒ 1.2048%
  當Spell Hit從84%增加到85%時, 傷害增加比例是 (850 - 840) / 840 ≒ 1.1905%
  當Spell Hit從85%增加到86%時, 傷害增加比例是 (860 - 850) / 850 ≒ 1.1765%
  當Spell Hit從86%增加到87%時, 傷害增加比例是 (870 - 860) / 860 ≒ 1.1628%
                                 ︰

  簡單來說, 在到達Spell Hit Cap之前, 每增加1% Spell Hit, 可以固定增加10點傷
害; 但是, 當Spell Hit越高的時候, 每點Spell Hit可以提供的"增傷比例"卻下降了.

  順帶一提, 在四種法術增傷屬性(Spell Damage, Spell hit, Spell Crit, 跟Spell
Haste)當中, Spell Hit是唯一一種每1%提升效益比大於1%的.

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邊際效應與屬性選擇的關係是...

  從結論講的話, 效益最好的屬性提升方式, 應該是要從最低%的屬性開始提升, 並且
平均的提升各種互有影響的屬性最好.

  舉例來說, 假設原始DPS 1000, 而A/B/C三種屬性每提升n%, 都可以對最終DPS提升
n%, A/B/C屬性在提升前皆視為*100%, 由此得到公式:

原始DPS    A屬性      B屬性      C屬性
  1000 * (1 + n%) * (1 + n%) * (1 + n%) = 最終DPS

  當今天有3%屬性, 可以任意分配到A/B/C上, 假設全部都分配到A屬性上, 會得到:

  1000 * (1 + 3%) * (1 + 0%) * (1 + 0%) = 1030

  若是採取平均分配的方法, A/B/C屬性各1%, 則會得到:

  1000 * (1 + 1%) * (1 + 1%) * (1 + 1%) = 1030.301

  後者的最終DPS較前者增加了0.301.

  另外, 在BZ設計物品屬性的分配上, 同等級品質的物品, 單一超高屬性的物品, 其
分數跟具有兩三個中高屬性的物品是相同的. 根據上面的計算, 這類具有多種屬性的
裝備也較具有優勢. 如果對這個主題有興趣的話, 請參照wowwiki上的物品分數計算
公式資料.

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實際上呢...?

  上面幾個段落的計算過程, 為了解說與閱讀的方便性, 大量簡化了計算的數值和過
程. 實際上要配裝的時候, 要考慮的因素較上面多出許多. 以Shadow Destruction
Warlock為例, Improved Shadow Bolt是非常重要的debuff, 而這debuff必須靠Crit
來觸發. 在只考慮Crit的情況下, ISB的出現率為(1-(1-Crit%)^4), 提升的DPS則為
(1-(1-Crit%)^4)*0.2...

  此外, 每種Rating換算為%的數值也不同, 所消耗的物品分數也有差異, 甚至不同
的encounter也會影響到屬性的選擇(ex. 負責中斷RoS P2的Rog最好就能Hit Cap).

  理想狀態下, 應該是可以將所有的屬性換算為物品分數, 將其代入DPS(或是其他
要算的)公式後, 得到一個以物品分數為變數的DPS方程式. 再利用微分可求方程式
最大值的特性, 理應能從這邊導出最佳的物品分數如何分配到各種屬性上.

  雖然實際遊戲中的物品分數和屬性分配, 並不可能如計算上那麼完美, 玩家只能
從現有的裝備中, 挑選最接近理想狀態的物品和屬性. 但是了解的如何以現有的數
據和資料, 計算當前出最適合的裝備, 也不失為一種提升自己實力的方法.

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  希望各位能從這份文章中獲得有用的資訊, 祝遊戲愉快.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.131.204.209
推 bladesinger:推阿奇萌米！
推 ssarc:專業.....
→ a30706520:我經濟學被當..
推 Mizake:下次會不會是經濟規模@0@
推 windsinger:推! 很詳細
推 PEIRON:2.4精神公式修正害我要去查兩項微分怎麼微....
推 a127:我怎麼有看過加速再怎麼遞減也比爆擊還要好...
推 vegafish:是邊際效用，不是邊際效應唷。
推 holysea:爆擊比較複雜,還要計算天賦帶來的效果
推 jesterscap:不推會讓人以為看不懂經濟學
推 suegi:有點看不懂,大概是剛睡醒的關係,那我純推萌米好了....
→ Axis999:簡單來說 平圴的稱上去效益比較大?
推 baelrog:精神回魔改兩項的話。  回魔 = f(智力, 精神)
→ Axis999:不過法系命中不稱到滿 沒中的話不會超超超超超囧 嗎?
→ baelrog:要求最大方向的話，就取gradient吧。
→ baelrog:命中還是先滿比較重要。因為命中在滿之前，每點提供的效果
→ fewhy:除非沒中會造成大崩壞(譬如有add殺不掉) 否則沒中也不會怎樣
→ baelrog:都比其他屬性好。
→ fewhy:不過剛好命中很便宜又很好賺 本來就是最先撐滿的 所以沒差
推 TrueX67:結論是Memy比較有錢~~
推 Axis999:結論是Memy比較有錢~~
→ deathson:實戰上的計算細節不可能全列出來啦(死
推 dafo:   結論是Memy比較有錢~~
推 shenjou:結論是：memy好有錢XDDDD
→ deathson:btw, Hit的效益比會好 是因為基礎Hit小於100%
推 zideaddin:a-n-z 好窮 哭哭
→ efreetia:簡單來說....不要追求某個極端的屬性，會造成不效率
推 ishiki:純推阿克萌的傲嬌米
→ fewhy:其實也是因為大多數的屬性之間是乘法關係才會這樣算
推 tinahou:結論是Memy比較有錢~~
推 ckplaying:推魔獸乘法為主  邊際效應在加法上會需要修正
推 yuliwow:請M!!
推 minhong:推用心與知識分享
→ deathson:多謝樓上提供修正資料, 我先去覓食了~
推 yas241520:安薩躺著又中槍
推 asgard1991:有沒有最近WOW板的文都好專業的八卦(掩面)
推 Nashooko:推這篇，例子簡單明瞭！
推 suegi:說真的,我看完第一次的結論也是：memy比較有錢~~
推 SuperKoala:先推再說，不然人家以為我看不懂
推 jmy1:超實用!
推 pop1627:推...簡單明瞭又實用
推 a127:這可以當板標吧！
推 SURREALTMR:推~~~~~~
推 Sechslee:專業用心推萌米
推 rego:   結論是Memy比較有錢~~
推 reke:從"實際上"那邊就看不懂了 orz
→ fewhy:實際上要考慮到各種屬性要花多少點數才能提升1%
→ fewhy:而且各種屬性影響的東西各有不同 譬如物理加速只影響普攻
→ fewhy:或有些人爆擊之後不只兩倍傷害 甚至有特殊效果
→ fewhy:計算效益的時候都要考慮進去~ 確實是很複雜的事情
推 genting:   結論是Memy比較有錢~~安薩應該被黑羽毛壓榨光了
推 lancastle:推一下..這樣可以畫無異曲線來求出最佳點了XD
→ deathson:"理論上"可以, 不過全部要考慮的東西整理進去的話
→ deathson:那公式應該會長的很可觀...XD
→ meishan31:上線一定有團，有團不一定打得贏，打得贏不一定會出
→ meishan31:會出一定不是給我拿，一堆DKP妖怪 zzzzzzz
→ hydralic:假分式越加越小 差不多的意思
推 mizukami:結論是Memy比較有錢
推 ianmax:  結論是Memy比較有錢~~
推 JUL:專業
推 DarthWilliam:增傷比例算式有誤，應為"(840-830)" / 830 =1.2048%
→ DarthWilliam:以此類推
→ memy:我很窮...................................................
→ deathson:我應該幫你加一個零嗎
推 hitlerx: 結論是Memy比較有錢~~
推 slow1235:結論是Memy比較有錢
→ memy:你少一個零我都還沒到那個數字...
→ deathson:了解                          原來Memy用的單位是[千g]
推 imsai:這根ro武器沒全海葵卡一樣  要混插阿!!
→ deathson:我喜歡這個說法XD                     海葵好耶>//////<
推 EKARD:樓上的，我想問一下為什麼海葵好？@@？
※ 編輯: deathson        來自: 71.131.204.209       (06/05 08:56)
推 Division:海葵是人型 配礦工的話 是混插 STR堆越高差異越大