→ heyha:這個課本沒有嗎？ 高中 推 218.163.80.108 01/14
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作者: Northcape (用心過完大三上) 看板: ask-why
標題: Re: [問題] 請問和差化積和積化和差要怎麼證?
時間: Tue Jan 14 21:57:10 2003
※ 引述《ryouji (擱淺)》之銘言：
: ※ 引述《RJRS (建構式生物)》之銘言：
: : 先證 和差化積
: : 先用和角公式，把 sin(a+b) 和 sin(a-b) 求出
: : 得 sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) 和 sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
: : 求出的值再相加，就可以消去二項
: : 得 sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)
: : 其他類推
: : 而積化和差就是把上面的式子反過來(會吧?)
: 那再請問'和角公式'要怎麼證 ?
: thx
利用正弦公式和餘弦公式
sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
正弦定理: sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c = r
餘弦定理...太難打出來,應該知道吧!
又因為 A+B+C =180度 所以sin(A+B)=sin(180度-C)=sin(C)
將sin cos用a b c帶入就可以得到了
也就是說:
左式=..... 右式=......
最後可以推出左式 = 右式
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◆ From: 61.217.171.57
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作者: JayJayKi (煉獄鬥魂) 看板: ask-why
標題: Re: [問題] 請問和差化積和積化和差要怎麼證?
時間: Wed Jan 15 11:35:33 2003
※ 引述《ryouji (擱淺)》之銘言：
: ※ 引述《RJRS (建構式生物)》之銘言：
: : 先證 和差化積
: : 先用和角公式，把 sin(a+b) 和 sin(a-b) 求出
: : 得 sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) 和 sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
: : 求出的值再相加，就可以消去二項
: : 得 sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)
: : 其他類推
: : 而積化和差就是把上面的式子反過來(會吧?)
: 那再請問'和角公式'要怎麼證 ?
: thx
設座標系 先證cos(n-m)=cosncosm+sinnsinm
Y
B ___|___A
如下\ | /
\ | /
\|/ __ __
--------------X OA=OB=1
O A坐標(cosm,sinm) B坐標(cosn,sinn) 設角XOA=m 角XOB=n
__ __ __
則由餘弦定理 AB^2=OA^2+OB^2-2cos(n-m)
(cosm-cosn)^2+(sinm-sinn)^2=1+1-2cos(n-m)
-->2-2(cosmcosn+sinmsinn)=2-2cos(n-m)
即cos(n-m)=cosmcosn+sinmsinn
再來推其它和角公式
cos(n+m)=cos[n-(-m)]=cosncos(-m) +sinnsin(-m)
即cos(n+m)=cosncosm-sinnsinm
利用[cos(n-m)]^2 +[sin(n-m)]^2=1
[sin(n-m)]^2=1-(cosmcosn)^2-(sinnsinm)^2-2cosncosmsinmsinn
=1-(cosm)^2(cosn)^2-(sinn)^2(sinm)^2-2cosmcosnsinnsinm
=1-[1-(sinm)^2](cosn)^2-(sinn)^2[1-(cosm)^2]-2cosncosmsinnsinm
^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
= 1-[(cosn)^2+(cosm)^2]+(sinm)^2(cosn)^2+(sinn)^2(cosm)^2-2cosncosmsinnsinm
=(sinmcosn-sinncosm)^2
即 sin(n-m)=(sinncosm-cosnsinm)
sin(n+m)=sin[n-(-m)]=[sinncos(-m)]-[cosnsin(-m)]
=sinncosm+cosnsinm
再來推tan(n-m)=sin(n-m)/cos(n-m)=sinncosm-cosnsinm/cosncosm+sinnsinm
上下同除cosncosm-->tann-tanm/1+tanntanm
都已經推那麼多了 把剩下的也推完吧
tan(n+m)=tan[n-(-m)]=tann-tan(-m)/1+tanntan(-m)
=tann+tanm/1-tanntanm
那接下來是衍伸出二倍角的
令n=m
tan(n+m)------>則tan2m=2tanm/1-(tanm)^2
O
可畫出如下三角形 /|
/ |
/ |
/___|
A B
--
我是天地間倉促的過客
情的意念卻會搖蕩至悠悠未來
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◆ From: 210.85.102.218
※ 編輯: JayJayKi 來自: 210.85.102.218 (01/15 11:37)
→ mimIloveU:好強唷 果真是強 推 61.30.4.171 01/22
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作者: JayJayKi (煉獄鬥魂) 看板: ask-why
標題: Re: [問題] 請問和差化積和積化和差要怎麼證?
時間: Wed Jan 15 11:53:42 2003
※ 引述《JayJayKi (煉獄鬥魂)》之銘言：
: ※ 引述《ryouji (擱淺)》之銘言：
: : 那再請問'和角公式'要怎麼證 ?
: : thx
: 設座標系 先證cos(n-m)=cosncosm+sinnsinm
: Y
: B ___|___A
: 如下\ | /
: \ | /
: \|/ __ __
: --------------X OA=OB=1
: O A坐標(cosm,sinm) B坐標(cosn,sinn) 設角XOA=m 角XOB=n
: __ __ __
: 則由餘弦定理 AB^2=OA^2+OB^2-2cos(n-m)
: (cosm-cosn)^2+(sinm-sinn)^2=1+1-2cos(n-m)
: -->2-2(cosmcosn+sinmsinn)=2-2cos(n-m)
: 即cos(n-m)=cosmcosn+sinmsinn
: 再來推其它和角公式
: cos(n+m)=cos[n-(-m)]=cosncos(-m) +sinnsin(-m)
: 即cos(n+m)=cosncosm-sinnsinm
: 利用[cos(n-m)]^2 +[sin(n-m)]^2=1
: [sin(n-m)]^2=1-(cosmcosn)^2-(sinnsinm)^2-2cosncosmsinmsinn
: =1-(cosm)^2(cosn)^2-(sinn)^2(sinm)^2-2cosmcosnsinnsinm
: =1-[1-(sinm)^2](cosn)^2-(sinn)^2[1-(cosm)^2]-2cosncosmsinnsinm
: ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
: = 1-[(cosn)^2+(cosm)^2]+(sinm)^2(cosn)^2+(sinn)^2(cosm)^2-2cosncosmsinnsinm
: =(sinmcosn-sinncosm)^2
: 即 sin(n-m)=(sinncosm-cosnsinm)
: sin(n+m)=sin[n-(-m)]=[sinncos(-m)]-[cosnsin(-m)]
: =sinncosm+cosnsinm
: 再來推tan(n-m)=sin(n-m)/cos(n-m)=sinncosm-cosnsinm/cosncosm+sinnsinm
: 上下同除cosncosm-->tann-tanm/1+tanntanm
: 都已經推那麼多了 把剩下的也推完吧
: tan(n+m)=tan[n-(-m)]=tann-tan(-m)/1+tanntan(-m)
: =tann+tanm/1-tanntanm
: 那接下來是衍伸出二倍角的
: 令n=m
: tan(n+m)------>則tan2m=2tanm/1-(tanm)^2
: O
: 可畫出如下三角形 /|
: / |
: / |
: /___|
: A B
角OAB=2m
令AB=1-(tanm)^2 OB=2tanm
__
由畢氏定理OA=1+(tanm)^2
則 sin2m=2tanm/1+(tanm)^2 cos2m=1-(tanm)^2/1+(tanm)^2
由cos(m+n)=cosmcosn-sinnsinm
cos2m=(cosm)^2-(sinm)^2=1-2(sinm)^2=2(cosm)^2-1
---->sinm=[(1-cos2m)/2]^1/2&cosm=[(1+cos2m)/2]^1/2
tanm=[(1-cos2m)/(1+cos2m)]^1/2
由sin(n+m)=sinncosm+cosnsinm
sin2m=2sinmcosm
大概就這樣了吧
--
風一樣男子 風神扶養的孩子
陽一般赤子 大地孕育的野獸
孤狼徜徉在蒼蒼大地 追隨茫茫大海
蒼鷹飛翔於莽莽穹蒼 尋覓浩瀚輕柔
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◆ From: 210.85.102.218