請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?

[fantasmic (信心花舍)]

 我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!

 (是個笨問題....|||)
--

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◆ From: 218.173.117.87
※ 編輯: fantasmic       來自: 218.173.117.87       (07/08 20:35)
→ Routes666:就是1了...別懷疑!!!
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: maxey0601 (.....) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Tue Jul  8 21:38:44 2003

※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
:  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
:  (是個笨問題....|||)
設0.999999999999999........為X
100X=99.99999999999........
100X-X=99X=99(小數部位全消掉)
X=99/99=1

--
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◆ From: 61.216.73.247

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: rebound (是我) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Tue Jul  8 22:06:47 2003

※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
:  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
:  (是個笨問題....|||)



    0.99999..... = 0.33333..... * 3

                 = (1/3) * 3

                 = 1



--
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◆ From: 140.126.8.2
→ jingo:有問題!你怎麼知道0.333333...是 "1/3"?
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: LucLee (I love Google!!!) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Tue Jul  8 22:27:27 2003

※ 引述《rebound (是我)》之銘言：
: ※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
: :  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
: :  (是個笨問題....|||)
:     0.99999..... = 0.33333..... * 3
:                  = (1/3) * 3
:                  = 1

好好玩  解法好像很多耶

那我也來提供一個：
       _                                                           _
 1 - 0.9 = 1 - 0.999999...... = 0.000000......(← 一直借十位 ) = 0.0 = 0
     _
so 0.9 = 1

純粹惡搞不要打我.......

--

                                                              update  EVERYDAY 

                                         My Blog
                                         http://blog.ptt2.cc/blog.pl/LucSpace/

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◆ From: 211.21.108.21
※ 編輯: LucLee          來自: 211.21.108.21        (07/08 22:28)
※ 編輯: LucLee          來自: 211.21.108.21        (07/08 22:28)

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Equalmusic (Wintertraveller) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Wed Jul  9 22:11:36 2003

※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
:  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
:  (是個笨問題....|||)

因為就不是阿, 就像石頭不是貓咪一樣阿

    _          _
1=0.9 <=> 10=9.9  <=> 9=9

恆等式不要懷疑

--
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◆ From: 218.165.100.39
→ bbbing:也可以說1-0.999...=0.000000000...=0
→ LucLee:樓上....see mine: #7184 哈哈 所見略同
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: kongn (沒錢了- -") 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Wed Jul  9 22:19:12 2003

※ 引述《Equalmusic (Wintertraveller)》之銘言：
: ※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
: :  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
: :  (是個笨問題....|||)
: 因為就不是阿, 就像石頭不是貓咪一樣阿
:     _          _
: 1=0.9 <=> 10=9.9  <=> 9=9
: 恆等式不要懷疑
這是以前高中同學跟我說的
   1                                        _
   一 =0.3333333333333333................=0.3
   3

         1          _     _
 1 = 3 x 一 = 3 x 0.3 = 0.9
         3

--
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◆ From: 211.74.6.188

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: kroll (just) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Wed Jul  9 22:44:57 2003

※ 引述《kongn (沒錢了- -")》之銘言：
: ※ 引述《Equalmusic (Wintertraveller)》之銘言：
: : 因為就不是阿, 就像石頭不是貓咪一樣阿
: :     _          _
: : 1=0.9 <=> 10=9.9  <=> 9=9
: : 恆等式不要懷疑
: 這是以前高中同學跟我說的
:    1                                        _
:    一 =0.3333333333333333................=0.3
:    3
:          1          _     _
:  1 = 3 x 一 = 3 x 0.3 = 0.9
:          3
要有極限的觀念才好討論這個問題
並不是一些等式就可以說明的
循環小數本身包含的是一個無限的概念
所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...

--
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◆ From: 210.68.41.105

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作者: itisjoe (拉哩拉拉哩拉拉) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Wed Jul  9 22:52:15 2003

※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: ※ 引述《kongn (沒錢了- -")》之銘言：
: : 這是以前高中同學跟我說的
: :    1                                        _
: :    一 =0.3333333333333333................=0.3
: :    3
: :          1          _     _
: :  1 = 3 x 一 = 3 x 0.3 = 0.9
: :          3
: 要有極限的觀念才好討論這個問題
: 並不是一些等式就可以說明的
: 循環小數本身包含的是一個無限的概念
: 所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
: 也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
: 如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...
 高中好像是利用 a/(1-r) 這個公式
   _
 0.9=0.9+0.09+0.009+0.0009+...

    =0.9/(1-0.1)

    =1

 有錯請指證 <(_ _)>

--
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◆ From: 211.76.238.61
→ vcloudy:其實背後也差不多 就是項數趨於無限大囉^^
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: cluster (warrior) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Thu Jul 10 11:17:33 2003

※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: 要有極限的觀念才好討論這個問題
: 並不是一些等式就可以說明的
: 循環小數本身包含的是一個無限的概念
: 所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
: 也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
: 如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...

  無限的概念實在太抽象了
  超出我的能力所能理解

  就像上學期"計算理論"中學的paradox:
  有間旅館共有無限間房間,住滿了客人
  (1)如果再來一個客人
     所有住戶往後移一間,一號房的客人移到二號房,依此類推
     這樣新來的房客又能住進旅館了
  (2)如果又來了無限多個客人
     所有客戶往後移,1號移到2號房,2號房移到4號房....
     這樣新來的客人可以住入原來的房間內

  但是既然是無限間客房,又何來住滿咧?

--
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◆ From: 61.216.109.39
→ wku:無限間客房住了無限多個人就住滿了～
→ alutw:無窮大不能與無窮大來作比較
→ bbbing:基本上換房間的時間也會是無限大...
→ ccas:countably infinite 是種可數的無限大數字
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Equalmusic (Wintertraveller) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Thu Jul 10 15:02:47 2003

※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: ※ 引述《kongn (沒錢了- -")》之銘言：
: : 這是以前高中同學跟我說的
: :    1                                        _
: :    一 =0.3333333333333333................=0.3
: :    3
: :          1          _     _
: :  1 = 3 x 一 = 3 x 0.3 = 0.9
: :          3
: 要有極限的觀念才好討論這個問題
: 並不是一些等式就可以說明的
: 循環小數本身包含的是一個無限的概念
: 所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
: 也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
: 如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...

不是吧
  _
0.9 並不是趨近於 1, 而是等於 1

這跟 lim_x = 1 是不一樣的
    x→1

無限大的概念不必只是一個過程, 無限大本身可以存在

π 的存在就是有無限個數位, 這跟極限沒有什麼關係吧

--
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◆ From: 218.165.100.39

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作者: kroll (just) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 00:17:58 2003

※ 引述《Equalmusic (Wintertraveller)》之銘言：
: ※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: : 要有極限的觀念才好討論這個問題
: : 並不是一些等式就可以說明的
: : 循環小數本身包含的是一個無限的概念
: : 所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
: : 也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
: : 如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...
: 不是吧
:   _
: 0.9 並不是趨近於 1, 而是等於 1
: 這跟 lim_x = 1 是不一樣的
:     x→1
: 無限大的概念不必只是一個過程, 無限大本身可以存在
: π 的存在就是有無限個數位, 這跟極限沒有什麼關係吧

lim x = 1
 x→1
這一個式子指的是函數 x 在其變數趨近於1時 極限為1
你要討論循環小數的函數  必要將其函數化

回到正題
如果不講極限,直接將等號畫上是不夠嚴謹的
and 無限大本身講的只是一個概念
不可量化, 無法數值計算 充其量也是 ∞+∞=∞ 這類運算
關於π來說,因為他是無理數 超越數
3.14159.....無法簡潔表示  所以賦予代號
換句話說π本身就是因為無法逼近 所以得來的一個想像
跟極限大有關係

--
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◆ From: 211.74.165.114

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: kroll (just) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 00:32:17 2003

※ 引述《cluster (warrior)》之銘言：
: ※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: : 要有極限的觀念才好討論這個問題
: : 並不是一些等式就可以說明的
: : 循環小數本身包含的是一個無限的概念
: : 所以 0.99999.... = ? 是一個極限的討論
: : 也就是 lim -> ∞ 時 0.9999...趨近於 1
: : 如果把極限跟無窮去掉 回到傳統數學的分析討論的話 討論不出結果的 ...
:   無限的概念實在太抽象了
:   超出我的能力所能理解
:   就像上學期"計算理論"中學的paradox:
:   有間旅館共有無限間房間,住滿了客人
:   (1)如果再來一個客人
:      所有住戶往後移一間,一號房的客人移到二號房,依此類推
:      這樣新來的房客又能住進旅館了
:   (2)如果又來了無限多個客人
:      所有客戶往後移,1號移到2號房,2號房移到4號房....
:      這樣新來的客人可以住入原來的房間內
:   但是既然是無限間客房,又何來住滿咧?

一個無限間房間的旅館要怎麼住滿
一間一間住下去 無限間房間就無限量的住...這樣就滿了
換到自然數系來講
N = 1,2,3,4,...... 是一個無限的數列
N 本身就滿足把 N 填滿的條件
更猛一點的說
1,3,5,7,9,....奇數數列也可以把N填滿
就是第一個奇數,第二個奇數,...這樣數下去就是了
數學家contor解決過一系列這類的問題
例如, 有理數與自然數哪個數系比較大(多)
      有理數與無理數那個數系比較大(多)
如果一樣多,就會達成"滿"的結論
只是contor的結論告訴我們 無限是有大小的 ...

--
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◆ From: 211.74.165.114

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Skeror (已經沒有馬可失了) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 01:12:49 2003

※ 引述《kroll (just)》之銘言：
: ※ 引述《cluster (warrior)》之銘言：
: :   無限的概念實在太抽象了
: :   超出我的能力所能理解
: :   就像上學期"計算理論"中學的paradox:
: :   有間旅館共有無限間房間,住滿了客人
: :   (1)如果再來一個客人
: :      所有住戶往後移一間,一號房的客人移到二號房,依此類推
: :      這樣新來的房客又能住進旅館了
: :   (2)如果又來了無限多個客人
: :      所有客戶往後移,1號移到2號房,2號房移到4號房....
: :      這樣新來的客人可以住入原來的房間內
: :   但是既然是無限間客房,又何來住滿咧?
: 一個無限間房間的旅館要怎麼住滿
: 一間一間住下去 無限間房間就無限量的住...這樣就滿了
: 換到自然數系來講
: N = 1,2,3,4,...... 是一個無限的數列
: N 本身就滿足把 N 填滿的條件
: 更猛一點的說
: 1,3,5,7,9,....奇數數列也可以把N填滿
: 就是第一個奇數,第二個奇數,...這樣數下去就是了
: 數學家contor解決過一系列這類的問題
: 例如, 有理數與自然數哪個數系比較大(多)
:       有理數與無理數那個數系比較大(多)
: 如果一樣多,就會達成"滿"的結論
: 只是contor的結論告訴我們 無限是有大小的 ...
記得高中老師有教過一個證明題
在任意兩個有理數之間必找的到一個無理數
在任意兩個無理數之間必找的到一個有理數

那這樣的話是不是代表沒有辦法確知有理數跟無理數哪個比較多呢?

--
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◆ From: 140.112.240.92

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作者: vcloudy (終於開始放暑假了) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 01:41:55 2003

※ 引述《Skeror (已經沒有馬可失了)》之銘言：
: 記得高中老師有教過一個證明題
: 在任意兩個有理數之間必找的到一個無理數
: 在任意兩個無理數之間必找的到一個有理數
: 那這樣的話是不是代表沒有辦法確知有理數跟無理數哪個比較多呢?

有理數的個數有無限多個
無理數的個數也有無限多個

究竟哪個集合大？
那就要看怎麼去計算了

一般所熟悉的是 Cantor 提出來的作法
 "對於兩個無窮大的集合 A 和 B，
  若存在一個 one-to-one 且 onto function f: A -> B
  則 A 和 B 兩集合有相同的 size"

這樣做下去
會發現有理數的集合大小是 countable (證明有興趣可以去翻相關書籍)
(countable 表示該集合個數有限，或其 size 和正整數所成集合 size 是一樣多的)
也就是說有理數整個集合的個數和正整數整個集合的個數一樣多

而實數的 size 是 uncountable 的 (證明有興趣還是可以去翻相關書籍)
也就是說實數整個集合的大小比正整數集合還大

又實數由有理數和無理數構成
所以就你的問題來看無理數的個數是比有理數多的
多多少？

如果拉一條數線掛在牆上讓你射飛鏢
你射中有理數的機率幾乎是零。

--
我不是數學系的 所以若有錯誤或不夠嚴謹清楚之處 還請各位高手不吝指教 :)


--
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◆ From: ken

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: kroll (just) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 09:20:26 2003

※ 引述《Skeror (已經沒有馬可失了)》之銘言：
: 記得高中老師有教過一個證明題
: 在任意兩個有理數之間必找的到一個無理數
: 在任意兩個無理數之間必找的到一個有理數
: 那這樣的話是不是代表沒有辦法確知有理數跟無理數哪個比較多呢?
這是在講實數的稠密性
以Archimedes princiapl可証

--
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◆ From: 211.74.101.56

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Yvvon (熱帶魚) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 11:13:13 2003

※ 引述《maxey0601 (.....)》之銘言：
: ※ 引述《fantasmic (信心花舍)》之銘言：
: :  我算出來是...1.....為什麼不是分數啊?!
: :  (是個笨問題....|||)
: 設0.999999999999999........為X
: 100X=99.99999999999........
: 100X-X=99X=99(小數部位全消掉)
: X=99/99=1


        不好意思，那請問一頁，如果是0.45656565656565656.....

        為什麼是寫成 456-4/990 啊？（公式不確定，有點忘忘了~~~）

        我剛要試證一下，結果想不出來~~~請大家教我一下：）謝謝

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 218.164.10.115

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: CCWck (★閃亮培養氣質★) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 12:38:17 2003


※ 引述《Yvvon (熱帶魚)》之銘言：
: ※ 引述《maxey0601 (.....)》之銘言：
: : 設0.999999999999999........為X
: : 100X=99.99999999999........
: : 100X-X=99X=99(小數部位全消掉)
: : X=99/99=1
:         不好意思，那請問一頁，如果是0.45656565656565656.....
:         為什麼是寫成 456-4/990 啊？（公式不確定，有點忘忘了~~~）
:         我剛要試證一下，結果想不出來~~~請大家教我一下：）謝謝
無窮等比級數公式較好了
0.4+0.056+0.056*(1/100)+0.056(1/100)^2...
=0.4+0.056/(1-1/100)
=0.4+0.056/(99/100)
=0.4+56/990
=4/10+56/990
=452/990

不建議用死記的...

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 140.113.92.17

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: chine0205 (呼呼...咻咻咻) 看板: ask
標題: Re: 請問0.99999999.....(循環小數) 化成分數是多少?
時間: Fri Jul 11 13:43:53 2003

※ 引述《CCWck (★閃亮培養氣質★)》之銘言：
: ※ 引述《Yvvon (熱帶魚)》之銘言：
: :         不好意思，那請問一頁，如果是0.45656565656565656.....
: :         為什麼是寫成 456-4/990 啊？（公式不確定，有點忘忘了~~~）
: :         我剛要試證一下，結果想不出來~~~請大家教我一下：）謝謝
: 無窮等比級數公式較好了
: 0.4+0.056+0.056*(1/100)+0.056(1/100)^2...
: =0.4+0.056/(1-1/100)
: =0.4+0.056/(99/100)
: =0.4+56/990
: =4/10+56/990
: =452/990
: 不建議用死記的...
設  x=0.456565656......
  10x=4.5656565656.....
1000x=456.5656565656.....
    1000x-10x=456-4
∴990x=456-4   →  x=(456-4)/990

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 61.216.74.135
→ CCWck:這種解法並不正式...只能拿來說明