推 Lawegg:好有趣啊XD 220.139.133.67 12/15 08:21
二十世紀初期，一匹名叫漢斯的馬非常有名，因為牠是一匹可以做算術的馬。
例如，馬主人范歐斯登（Wilhelm von Osten），
把五個物體擺成一排，再拿三個擺成一排，漢斯就會用蹄敲擊地面八次。
范歐斯登經常帶著漢斯做公開表演，
有時觀眾大聲喊出問題，或是用黑板寫下數字算式，漢斯都可以作答。
更甚者，漢斯還可以做分數的加減，例如黑板寫著 2/5 + 1/2（答案是9/10），
漢斯就會先敲九下、再敲十下。
漢斯也會對整數做分解。
問牠28可以被哪些數整除，他會依次敲擊2、4、7、14、28下。
有人認為這是因為表演時，馬主人范歐斯登打暗號給漢斯。
但是有時候范歐斯登離開現場，讓觀眾自己提出問題，漢斯仍然可以答對。
於是心理學家就對漢斯做了實驗，他們也認為漢斯確實有數學能力。
但是在這些以史坦夫（Carl Stumpf）為首的專家群之外，
史坦夫的學生普芳斯特（Oskar Pfungst）卻認為事情很可疑。
於是他把范歐斯登與漢斯一起請到實驗地點。
他發現，每當范歐斯登的答案錯誤時，漢斯就會答錯。
（例如：在范歐斯登不知情的狀況下，給范歐斯登與漢斯的題目不同。）
對此，普芳斯特的結論是：
范歐斯登並不是故意打暗號，而是漢斯能察覺人類最細微的表情。
每當漢斯敲蹄的次數快接近答案時，范歐斯登與觀眾都會不禁露出緊張的表情，
所以漢斯就可以知道牠何時應該停止敲蹄。
這也就是為什麼范歐斯登不在場而只有觀眾時，漢斯仍然可以答對數學題。
──《數字感》P.18～P.21
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雖然漢斯的實驗可能會讓人覺得：動物果然沒有數學能力。
但是很多實驗還是證實了：動物雖然不會做太難的算術，但還是有基礎的數量感。
例如：長久訓練老鼠壓按鈕兩次可以獲得食物，牠就不會只壓一次或三次。
（出錯的情況存在，但是頻率低。）
也許有人質疑：老鼠只是有衡量肌肉疲勞程度的能力，不見得是有數字感。
（因為壓一次、兩次、三次按鈕所耗費的體力不同，
老鼠也許只是察覺到其中的差異，而不是真的明白「2」這個量可以給他帶來食物。）
以下就是我認為一組很經典的實驗。（以下訓練都是提供食物當作誘因）
1.訓練老鼠看到紅色就壓左邊按鈕、看到綠色就壓右邊的。
2.訓練同一隻老鼠看到方形就壓左邊、看到圓形就壓右邊。
3.如果給這隻老鼠看紅色方形，老鼠會去壓左邊。
所以老鼠可以知道：紅色方形＝紅色＋方形。
另一個實驗：
（先確定了老鼠可以清楚分出2和4，不論是因為數字感還是肌肉疲勞程度。）
1.訓練老鼠看到兩次閃光就壓左邊、看到四次閃光就壓右邊。
2.訓練同一隻老鼠聽到兩次鈴聲就壓左邊、聽到四次鈴聲就壓右邊。
3.如果給這隻老鼠看到兩次閃光＋聽到兩次鈴聲，則老鼠會去壓「右邊」！！
不像前一個實驗，老鼠的認知不是左邊＋左邊＝左邊，而是2＋2＝4。
這代表老鼠可以分辨閃光的2這個數量，也可以分辨鈴聲的2這個數量，
而且還可以知道這兩個數量的和是4。
這代表老鼠也可以從一般事物中抽取出數量的抽象概念。
──《數字感》P.28～P.30
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黑猩猩比老鼠應該更聰明一些。
實驗一：
給黑猩猩看一個盛有1/2杯藍色液體的玻璃杯，讓牠在另外兩個玻璃杯中選擇。
其中甲玻璃杯也同樣盛有1/2藍色液體、乙玻璃杯則是盛了3/4杯。
則黑猩猩會選擇甲杯。
實驗二：
給黑猩猩看一個盛有1/2杯藍色液體的玻璃杯，讓牠在另外兩個物體中選擇。
其中甲物體是半個蘋果、乙物體則是3/4個蘋果。
則黑猩猩會選擇甲。
實驗三：
如果給黑猩猩看1/4個蘋果和1/2杯水，讓牠在另外兩個物體中選擇。
其中甲物體是1張完整的唱片、乙物體則是3/4張唱片。
則黑猩猩會選擇乙。
也就是黑猩猩可以分辨：1/4 ＋ 1/2 應該比較接近 3/4。
──《數字感》P.30～P.31
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皮亞傑做過一項實驗。
他在兒童（應該是2～4歲左右）面前排了6個瓶子和6個杯子，如下圖：
6個瓶子 ○ ○ ○ ○ ○ ○
6個杯子 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇
然後皮亞傑問小孩哪一排比較多，小孩會回答：「一樣多。」
然後皮亞傑把杯子的距離加大，如下圖：
6個瓶子 ○ ○ ○ ○ ○ ○
6個杯子 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇
然後皮亞傑再問小孩哪一排比較多，小孩會回答：「杯子多。」
於是皮亞傑下結論：在小孩未成熟前，他們沒有「數字保存」的基礎概念。
（「數字保存」是指杯子的距離即使變大，但數量的大小應該不會受到影響。）
皮亞傑的發現給教育界帶來重大的影響。
因為從皮亞傑的實驗結果可以推論：
在小孩還未成熟前，我們不能教他們那些超越他們年齡的知識。
老師唯一能做的事情就是等學生長大。
──《數字感》P.51～P.58
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1967年，《自然》科學雜誌發表了麻省理工學院心理系教授
梅勒（Jacques Mehler）與畢佛（Tom Bever）的文章。
他們推翻了皮亞傑的結論。
實驗一：
他們在兒童（2～4歲）面前排了兩排彈珠，如下圖：
第一排 ○ ○ ○ ○ ○ ○
第二排 ○ ○ ○ ○
然後他們問小孩哪一排比較多，小孩會回答：「第二排多。」
這似乎驗證了皮亞傑說的：兒童沒有數量的概念。
實驗二：
他們把彈珠換成了可口的巧克力糖，如下圖：
第一排 ○ ○ ○ ○ ○ ○
第二排 ○ ○ ○ ○
然後他們跟小孩說：「你可以選一排拿去吃。」
結果幾乎所有的小孩都把第一排的巧克力糖拿走。
這個實驗證明皮亞傑錯了。
事情的癥結在於語言，而不在數學。
小孩不能理解皮亞傑口中的「多」是什麼意思，而非沒有數量的概念。
事實上，根據梅勒與畢佛的實驗，年齡越大的小孩答對的頻率反而越低。
但是沒有道理大小孩會輸給小小孩呀！
於是他們認為：大小孩對語言的猜想與琢磨會比較多。
當皮亞傑連續問小孩兩次：「哪個多？」的時候，
小孩心裡會想：他為何連續問我兩次相同的問題？一定是他期待聽到不同的答案。
所以，大小孩因為語言能力優於小小孩，就造成了大小孩反而容易答錯。
（年紀越大，心機越重啊～～～）
後來有很多的實驗顯示，新生兒就已經有數量的概念了。
（新生兒可以分辨2和3的不同。）
所以，生物演化的過程中，形成了人類天生就有數字感的現象。
──《數字感》P.51～P.58
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後面還有一些有趣的實驗，我就簡記一下。
實驗對象：五個月大的嬰兒。
實驗一：（讓小孩看到以下過程）
模型舞台上有一隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人手裡抓一隻米老鼠伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡沒有米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上有兩隻米老鼠 → 小孩不為所動
實驗二：
模型舞台上有一隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人手裡抓一隻米老鼠伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡沒有米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上只有一隻米老鼠 → 小孩感到驚訝
實驗三：
模型舞台上有兩隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人空手伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡抓著一隻米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上只有一隻米老鼠 → 小孩不為所動
實驗四：
模型舞台上有兩隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人空手伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡抓著一隻米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上有兩隻米老鼠 → 小孩感到驚訝
實驗五：
模型舞台上有一隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人手裡抓一隻米老鼠伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡沒有米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上有一個紅氣球 → 小孩感到驚訝
實驗六：
模型舞台上有一隻米老鼠 → 屏幕拉起遮住舞台
→ 旁邊的大人手裡抓一隻米老鼠伸到幕後 → 大人把手抽回，手裡沒有米老鼠
→ 屏幕放下 → 舞台上有兩個紅氣球 → 小孩不為所動
也就是，小孩只在意1＋1有沒有等於2，而不在意米老鼠變成紅氣球。
──《數字感》P.61～P.65
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實驗對象：嬰兒
以下白色方塊部分為舞台上的屏幕
實驗一：
卡車從屏幕左方後出來，再進入屏幕。
卡車 ███████████████████
◇ ← ███████████████████
→ ███████████████████
鴨子從屏幕右方後出來，再進入屏幕。
███████████████████ 鴨子
███████████████████ → ○
███████████████████ ←
屏幕放下，舞台上只有一隻鴨子。
實驗結果：小孩不為所動。
實驗二：
卡車從屏幕左方後出來，再進入屏幕。
卡車 █████████ █████████
◇ ← █████████ █████████
→ █████████ █████████
鴨子從屏幕右方後出來，再進入屏幕。
█████████ █████████ 鴨子
█████████ █████████ → ○
█████████ █████████ ←
兩片屏幕放下，舞台上只有一隻鴨子。
實驗結果：小孩感到驚訝。
在第一個實驗中，小孩認為屏幕上只有一個物體，至於是卡車還是鴨子則無關緊要。
在第二個實驗中，小孩認為屏幕後應該有兩個物體。
因為左邊屏幕後的物體不可能跳過中間的縫隙而移動到右邊。
所以小孩知道：物體移動的軌跡是連續的。
──《數字感》P.66～P.69
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Ｘ太太驚訝萬分：她接受檢驗後證實自己罹患癌症。她的醫生證實，檢驗結
果非常可靠，準確率高達百分之九十八。對嗎？不對。現有的資訊絕對不等於結
論。假設每一萬人當中只有一個人罹患這種癌症，而且檢驗錯誤的機率是百分之
五，那麼在接受檢驗的一萬人當中，大約有五百人會證明罹患癌症，但事實上只
有一個人才會罹患癌症。以這個例子來說，雖然結果如此，Ｘ太太罹患癌症的機
率只有五百分之一。
──《數字感》P.160～P.161
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維根斯坦（Wittgenstein）：
「所有數學的理論都只意味著相同的一件事：沒事。」
──《數字感》P.271
我看到這裡狂笑～～～XD
ps.他應該只是批判大衛‧希爾伯特的形式學派，
不是真的認為數學很無聊啦。
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錦瑟無端五十絃...一絃一柱思華年...
莊生曉夢迷蝴蝶...望帝春心託杜鵑...
滄海月明珠有淚...藍田日暖玉生煙...
此情可待成追憶...只是當時已惘然...多情者...情場殺手...
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