[轉錄]今年的奧林匹亞數學競試

[Zyca (swun mitru valy)]

※ [本文轉錄自 Zyca 信箱]

作者: [e-mail]
標題: 今年的奧林匹亞數學競試
時間: Tue Jul 21 15:33:05 1998

作者: shuoh (小弟) 看板: NTUControl
標題: 今年的奧林匹亞數學競試
時間: Sat Jul 18 08:07:24 1998


        昨晚剛從報紙上拿到奧林匹亞數學競試的考題，給大家分享一下，
        有時間可以玩一玩(註：這六題應在九小時內做完)

        1. 設凸四邊形ABCD的兩對角線AC與BD互相垂直，且兩對邊AB與DC不平行
           ，已知 P為線段AB和CD的中垂線交點，且P 在四邊形內部，證明：A,
           B, C, D四點共圓的充要條件為△ABP = △CDP

        2. 在某一次競賽中，共有a 個參賽者及b 個裁判，其中b>=3且為奇數，設
           每個裁判對每一位參賽者的判決只有「通過」和「不通過」兩種，已知
           任意兩個裁判至多可對k 個參賽者有相同的判決，證明：
           k/a >= (b-1)/(2b)

        3. 對任一正整數n ，令d(n)表示n 的正因數(包含1 及 n本身)個數，試確定
           所有可能的正整數k ，使得有一正整數n 滿足：

                        d(n^2) / d(n) = k

        4. 試確定所有正整數序對(a,b) ，使得 a^2 + a + b可以被
           ab^2 + b + 7整除

        5. 設I 為△ABC的內心，K、L、M分別為△ABC的內切圓在BC、CA、AB的切點，
           已知通點B且與MK平行之直線分別與直線LM及LK交於點R及S，證明：
            角RIS為銳角

        6. 設N 表示所有正整數所組成的集合，考慮所有由N 映至N 且滿足下列條件
           的函數f ：對任意正整數s 及t ，都有
                        f(t^2 f(s)) = s(f(t))^2
           試求所有f(1998)的可能值中之最小值

        這些題目最多只有高中程度，不要想得太難~~~~~~~~~~~~~
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