[請益] 證明y(n)=ny(n-1)+x(n)為線性~

[tsou0625 (ptt有很多好人很安全)]

不好意思，小弟要問個比較沒深度的問題~~
關於證明y(n)=ny(n-1)+x(n)為線性系統~
我解：
當輸入為x1(n)，則輸出為y1(n)=ny1(n-1)+x1(n)
當輸入為x2(n)，則輸出為y2(n)=ny2(n-1)+x2(n)
當輸入為xc(n)=x1(n)+x2(n)，則輸出為yc(n)=nyc(n-1)+x1(n)+x2(n)

y1(n)+y2(n)=n[y1(n-1)+y2(n-1)]+x1(n)+x2(n)

問題來了，一看就知道這是個線性系統，
但是我卻不知道要怎麼讓yc(n)=y1(n)+y2(n)

可不可有哪個高手可以告訴我是哪裡想錯了嗎？謝謝！

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作者: Hall (最好的時光) 看板: comm_and_RF
標題: Re: [請益] 證明y(n)=ny(n-1)+x(n)為線性~
時間: Tue Oct  3 00:45:38 2006

※ 引述《tsou0625 (ptt有很多好人很安全)》之銘言：
: 不好意思，小弟要問個比較沒深度的問題~~
: 關於證明y(n)=ny(n-1)+x(n)為線性系統~
: 我解：
: 當輸入為x1(n)，則輸出為y1(n)=ny1(n-1)+x1(n)
: 當輸入為x2(n)，則輸出為y2(n)=ny2(n-1)+x2(n)
: 當輸入為xc(n)=x1(n)+x2(n)，則輸出為yc(n)=nyc(n-1)+x1(n)+x2(n)
: y1(n)+y2(n)=n[y1(n-1)+y2(n-1)]+x1(n)+x2(n)
: 問題來了，一看就知道這是個線性系統，
: 但是我卻不知道要怎麼讓yc(n)=y1(n)+y2(n)
: 可不可有哪個高手可以告訴我是哪裡想錯了嗎？謝謝！

y(0)=0*y(-1)+x(0)=x(0) zero-initial state of the causal system is assumed
y(1)=y(0)+x(1)=x(0)+x(1)
y(2)=2*y(1)+x(2)=2*x(0)+2*x(1)+x(2)
.
.
.
y(k)=sum{ [k!/((k-i)!)]*x(k-i) } for i= 0...k

yc(k)=y1(k)+y2(k)=sum{ [k!/((k-i)!)]*[x1(k-i)+x2(k-i)] } for i= 0...k
     =sum{ [k!/((k-i)!)]*xc(k-i) } for i= 0...k

where xc(k)=x1(k)+x2(k)

不知對否?

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推 tsou0625:謝謝您的回應，不過這個解好像有點麻煩。