Re: [請益] 有關 賭博默示錄 的 皇帝牌

[WANG3213 (WANG3213)]

※ 引述《gamalin (孤獨橘子)》之銘言：
: ※ 引述《HERMAN06 (HERMAN)》之銘言：
: : 我的想法是  這遊戲就只是有特殊規則的剪刀石頭布
: : 皇帝方只能出石頭(like平民)和布(like皇帝)
: : 奴隸方只能出石頭和剪刀
: : 但是只要平手4次就是奴隸贏
: : 第1局皇帝勝利的機率是1/2 奴隸是1/4 平手1/4
: : 這樣這樣皇帝整局下來的勝率就是85/128
: : 就像前面某篇所計算的
:     沒錯，這就是我計算的方式，
:     因為今天是你知道手上的牌來決定出牌，
:     而並非蓋著牌用抽的來出牌。
:     如果是蓋著牌出牌，才是單純的機率計算，
:     也就是1/5，但是現在是你知道牌來出牌，
:     這樣就是條件機率，所以用單純的排列組合來算，會有盲點。
:     因為對你來說，每一回的出牌只有兩種可能，而並非五種。

有些人把可能與機率搞混了

而且有兩種可能，不代表兩種"可能"的機率各為1/2

因為出牌的時候不是丟銅板決定的，丟銅板也不保證正反都是1/2

有五張牌，雖然只有兩種牌面，是可以考慮等同那張特殊牌出或不出的狀況

但想出或不想出皇帝，其實是考慮過對方的可能決策後所得出的意願強度

給予機率，代表真的不知道該怎麼做決策，所以只好問天了

更簡單化的直接給各1/2，更是會做了錯誤的決策

這就好像有人問：到底有沒有外星人

也是有或沒有兩種可能，難道機率也各是1/2嗎？

我啥都不知道，當然就各給1/2，但某些天文學家就可以依照他手上握有的資料，給一個

他認為合理的信心強度


所以作決策總是有些理由，這些理由會影響下某些決策時的心理強度

在沒有特殊理由時，或無法考慮信心這種無法量化的東西，當然就導入機率來計算囉

這是決策理論的範疇，我用minimax準則簡單的分析一下

minimax:在各種最大的可能損失情形下，尋找最小的損失

在這個遊戲下，奴隸方的損失=皇帝方的勝率，反之亦然

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第五局的勝負決定在第四局，所以我們從第四局開始分析

X代表皇帝方出皇帝的機率(或意願強度)，當牌剩n張時，X=1/n等同用隨機出牌


              皇帝     平民
               X       1-X

平民  1-Y   (1-Y)X   (1-Y)(1-X)

奴隸  Y       XY      Y(1-X)


皇帝方 勝利的機率是 (1-Y)X+Y(1-X) = X+Y-2XY = (1-2Y)X+Y

理性的奴隸方會去考慮希望皇帝方的獲勝機率越低越好

所以他開始思考皇帝方的出牌策略

當他比較沒有強烈慾望出奴隸時(0≦Y＜1/2)

考慮L1=(1-2Y)X+Y 為一條直線(Y值已固定)

此時(1-2Y)>0 L1斜率為正，也就是皇帝方出皇帝的機率增加，對皇帝方有利

為了避免皇帝方聰明絕頂，已經想到奴隸方的想法，奴隸方必須考慮最糟的狀況

亦即皇帝方的策略若選X=1，勝率(1-2Y)X+Y = 1-Y 可以到(個別Y)的最大值


相反的若奴隸方有強烈慾望出奴隸時(1/2＜Y≦1)

皇帝方出皇帝的機率減少，且皇帝方的策略若選X=0，勝率Y可以到(個別Y)的最大值


最後，當奴隸方比較沒有想出哪個的時候， Y = 1/2，此時皇帝方勝率=1/2


三部分合起來就是當  0 ≦Y＜1/2 皇帝方勝率 = 1-Y
                        Y＝1/2 皇帝方勝率 = 1/2    圖畫出來為最低點
                   1/2＜Y≦ 1  皇帝方勝率 =  Y

所以她應該選擇  Y=1/2 ，可以讓皇帝方勝率勝率在最低的1/2

若由皇帝方先考慮，一樣會作出X=1/2 可以讓奴隸方勝率勝率在最低的1/2

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第三局

              皇帝     平民
               X       1-X

平民  1-Y   (1-Y)X   (1-Y)(1-X)

奴隸  Y       XY      Y(1-X)

皇帝方 勝利的機率是 (1-Y)X+Y(1-X)+1/2*(1-Y)(1-X) = (1/2-3Y/2)X+(1/2+Y/2)
                                  ^^^^^^^^^^^^^^
                                  平手進入第四局後獲勝的機率


奴隸方 勝利的機率是 XY+1/2*(1-Y)(1-X) = (3X/2-1/2)Y+(1/2-X/2)
                       ^^^^^^^^^^^^^^
                       平手進入第四局後獲勝的機率

類似之前的分析可以得到 (1/2-3Y/2)=0 =>Y=1/3 時皇帝方勝利的機率=2/3為最小
                       (3X/2-1/2)=0 = X=1/3 時奴隸方勝利的機率=1/3為最小


繼續推下去就得到在第一局 Y=1/5 時皇帝方勝利的機率=4/5為最小
                         X=1/5 時奴隸方勝利的機率=1/5為最小

也就是兩方都以 1/5、1/4....1/2隨機出牌的方式都可以獲得最小的損失


簡單講，都用1/2來出牌，也是一種作法

只是皇帝方使自己的優勢由80%降至66%左右，不是很明智就是了

當然，奴隸方就爽囉~~~

一點小意見，請指教，還有這個討論串應該整個丟去數學版的~~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.123.197.234
※ 編輯: WANG3213        來自: 140.123.197.234      (01/28 08:45)
推 HERMAN06:假如把電影中奴隸1賠10加入模型然後雙方追求最大利潤
→ HERMAN06:結果會怎樣呢??  好奇XD
推 skyscrape:今天AB兩個人個性未知，我是賭徒我一定只看排列組合
→ skyscrape:會改變我理性的判斷只有AB之間有性質的差別，
→ skyscrape:例如A是賭神...
→ skyscrape:讓我不解的是，為何不以一個第三者來看這件事情，而一直
→ skyscrape:把自己認為是在賭桌上的那個人?
推 LDD:決策理問與遺憾準則是哪一方面的領域??
推 HERMAN06:賽局理論本來就是要考慮到對方的判斷啊:)
推 skyscrape:對阿~如果考慮對方的判斷那你剛開始就要知道對方的個性
推 HERMAN06:決策理論和數學 統計 經濟都有關係吧
→ skyscrape:今天男主角威能我當然賭他贏阿~因為劇情寫好了。如果今
→ skyscrape:天有個漫畫作家說我要出一張牌，不畫牌跟繼續畫牌,沒錯
→ skyscrape:錯，不像丟銅板那樣。但是你就要了解這個畫家他窮不窮
→ skyscrape:等資訊來判斷他會不會繼續畫~
噓 a8716650:這部真的很爛...
推 HERMAN06:那這樣好了  把規則改成只有兩張牌  可是平民可以出4次
→ HERMAN06:請問這樣有影響到遊戲方式 或是改變決定出牌的方法?
→ ilikexinyi:樓上就是很堅持猜拳說
推 powertodream:前面一些單純機率的分析 真的蠻爛的, 應該要考慮多一
→ powertodream:點
→ ilikexinyi:沒錯 如果以產生的結果來看 總樣本是13種
→ ilikexinyi:奴隸贏的情形是5種
→ ilikexinyi:所以才會有些人堅持  5/13說
→ ilikexinyi:實際上 將總數放大 就可以推翻這個結論
推 HERMAN06:不  我現在的想法也不覺得每局出皇帝(奴隸)牌的機率是1/2
→ HERMAN06:出牌的機率只是一種決策  用賽局來計算達到最大利益的出
推 ilikexinyi:那很好阿 你想通了
→ HERMAN06:牌的機率才是合理的  但絕對不是因為有5張牌所以是1/5
推 LDD:我比較想知道這個問題跟決勝21點Monty Hall problem有沒有
→ LDD:異曲同工之妙,如果把Monty Hall problem也用決策理論來分析呢?
推 HERMAN06:沒有什麼關係  那只是單純的條件機率  不牽涉到2人的決策
推 LDD:所以基本上用統計的機率去考慮皇帝牌遊戲就是錯誤的方向了!!
推 nam1975:monty hall一定要換門機率才會高阿 不是機率第一課QQ
→ Reminsk:其實我想回外星人科學家的部分...科學家的理論建立在他們
→ Reminsk:所認知的知識上，用火星沒水來推論火星沒生命是不合理的
→ Reminsk:人不能沒水，不代表外星演化生命也不能沒水阿。
→ Reminsk:至於決勝21點，則是建立在用計算牌張出現率，來判讀下一張
→ Reminsk:為大牌的機率，主角只是單純讓自己盡量拿到大牌