Re: [請益] 有關 賭博默示錄 的 皇帝牌

[duter (??)]

吵1/2還是吵1/5根本就吵錯東西了吧@@
今天我是玩家，我就可以給自己設定，
我這局要1/2的機率出皇帝or1/5的機率出皇帝
甚至1/3,1/4,1/3.1415926都馬可以
當然乞丐也是一樣，勝率要看雙方的決定而定。
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分析一，玩五次

設皇帝方出皇帝牌機率為1/n，乞丐方出乞丐機率為1/n

得一條曲線(有興趣自己畫@@)

n=3.5時 皇帝勝率最高0.777

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分析二，玩五次

設皇帝方出皇帝牌機率為1/n，乞丐方出乞丐機率為1/m

得一曲面

分析結果：    m<4時，n越大勝率越高

                  ->若乞丐容易出乞丐牌(大於25%)，皇帝不出皇帝勝率最高。
                    (m=1，由0遞增至0.99，m=2 0.5~0.934，m=3 0.667~0.802)

              m=4時，n=2有極值0.784
              m=5    n=2      0.812
              m=6    n=1      0.833
              m=8    n=1      0.875
                      :
              m=100  n=1      0.990

                  ->若m=4,5 n=2勝率越高。
                      m>5,  n=1

拿掉n=1和m=1極端狀況，以25%為分界劃分方案

       勝率          出乞丐機率大於25%         小於等於25%
出皇帝機率大於25%        0.664~0.769            0.781~0.936
   小於等於25%           0.781~0.936            0.054~0.771

偷懶取平均，             0.717                    0.859
                         0.859                    0.413

設皇帝很無聊做過以上分析，以皇帝立場，如何有最大勝率?
設 (出皇帝牌機率大於25%) 之機率為x (小於等於25%)為1-x
設 (出乞丐牌機率大於25%) 之機率為y (小於等於25%)為1-y
勝率=0.717xy+0.859x(1-y)+0.859y(1-x)+0.413(1-x)(1-y)
    =-0.588xy+0.446x+0.446y+0.413
對x取微分，得極值=-0.588y+0.446，
平衡點約為x=0.756，因此皇帝75.6%的時間選(出皇帝牌機率大於25%)可得最佳勝率。

若乞丐也有過人天資做過以上分析

最佳勝率=> x=y=0.756

勝率約等於0.751

(抱歉對賽局理論一知半解，可能有誤)

補充：75.6%的時間選(出皇帝牌機率大於25%)約等於50%機率出皇帝，不過還是有差異
      所以若皇帝採用50%機率出皇帝的方案，勝率約為75.1%

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分析三：n張牌

得一四度空間圖...懶得解了，還要寫程式...。
不過結果應該差不多。

手癢...

n=1時，皇帝對乞丐， 勝率0%
n=2時
             出乞丐    出平民
    出皇帝     0          1
    出平民     1          0

設x出皇帝(1-x)出平民
設y出乞丐(1-y)出平民

平衡點x=y=0.5
勝率=0.5*0.5*1*2=0.5

n=3   :
n=4   :
n=5   遞增至  75.1%

會趨向收斂，因此若n>5，我"猜"會收斂在比75.1稍大的值。(懶得算)
                                     約78吧!
                           接近分析一的77.7吧!

這可能是此遊戲選擇五張的原因，因為收斂啦，再多也只是拖臺錢。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.193.8.130
推 HERMAN06:推  我也覺得用賽局看比較好  可惜我不懂XD
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 02:14)
推 sayhello:這...XD
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 02:57)
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 02:58)
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 03:17)
推 gamalin:沒錯，牌局愈多只是愈趨近3/4
→ gamalin:因為皇帝方的獲勝機率是1/2+1/4平手之後的獲勝機率
→ gamalin:所以牌局愈多局，皇帝方獲勝機率往3/4靠近..另一方往1/4跑
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 03:51)
推 WalterBishop:出過的牌不能再出 所以其實你只有5種出牌策略 就是
→ WalterBishop:決定要在第幾回合出 其他考慮都不脫這5種
→ WalterBishop:所以長期來說 正確的作法是 從這5種裡面隨機的挑選
→ WalterBishop:但如果你某一種策略設定的機率特別高 那對方就可針對
→ WalterBishop:你制定策略 所以最好的作法是各20% 最後這部份 應可
→ WalterBishop:用賽局理論詳加證明
→ WalterBishop:如果我上述所說是對的 那顯然奴隸勝率為20%
→ duter:怎麼會只有五種勒?我擲一顆三面骰，骰到一就出皇帝
→ duter:這根排列組合完全不一樣
我擲一顆三面骰，骰到一就出皇帝，

第一回合出皇帝的機率=1/3
第二回合=2/3*1/3=2/9
第三回合=2/3*2/3*1/3=4/27
第四回合=2/3*2/3*2/3*1/3=8/81
第五回合=2/3*2/3*2/3*2/3=16/81

不等於20%,20%,20%,20%,20%

    --->各回合出的機率不必一樣

另外，最"收斂"的做法上面就用賽局證明了...
第一回合50%
第二回合25%
第三回合12.5%
第四回合6.25%
第五回合6.25%

不過僅限於方針不改變，若方針隨回合數改變...
我的想法要用到遞迴+賽局，或許還要加最佳化...還是算了吧XD
※ 編輯: duter           來自: 123.193.8.130        (01/28 05:30)
噓 ilikexinyi:..........
推 FJWID:雖然我學過微積分，但還是看不懂。給推
推 WalterBishop:你"證明"過的最佳解 皇帝方使用該策略勝率是75%
→ WalterBishop:若使用"各20%"策略 也就是各回合出的機率一樣
→ WalterBishop:不管對手策略為何 皇帝方有80%勝率
→ WalterBishop:顯然你最"收斂"的做法並不是最好的策略