[好雷] 消失的23年－從星際效應看等效原理

[shonn (想和妳看棒球)]

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消失的23年－從星際效應看等效原理


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　　星際效應（Interstellar；2014）是諾蘭繼黑暗騎士（The Dark
Knight；2008）、全面啟動（Inception；2010） 、超人：鋼鐵英雄
（Man of Steel；2013）等膾炙人口的作品之後所執導的最新年度鉅
作。

【星際效應電影海報】

　　克里斯多夫諾蘭（Christopher Nolan） 電影最為人稱道的地方
，就是故事架構龐大複雜，表現強烈的思考性邏輯卻又能引人入勝。
「星際效應」不僅融合多元科幻元素，更嘗試把相對論、黑洞、時空
旅行等艱難深奧的物理學理論加以連結，以電影藝術的方式普羅具像
化呈現大眾面前，格局大膽而創新，令人印象深刻。

【Christopher Nolan】

　　為了考究電影科學，諾蘭特別邀請了物理學家基普索恩（Kip
Thorne）擔任劇本顧問。索恩是當今世界上天文物理學領域的領導者
，他以黑洞、重力波、蟲洞和時間旅行的理論研究為基礎，讓星際效
應的劇情增添不少科學根據，把科幻電影帶入了更高層次的嶄新境界
。

【Kip Thorne】

　　星際效應以愛因斯坦「廣義相對論」為科學基礎，電影中的劇情
才能合理建立，不論蟲洞、黑洞、五次元（5-Dimension） 的研究皆
由廣義相對論衍生，具有嚴謹的物理學理論。其中最具代表性的廣義
相對論現象，我想就是那「消失的23年」。

　　永續號任務來到一顆環繞「巨人」黑洞的Ａ星球，因為重力場非
常強大，Ａ星球時間過的極度緩慢。馬修麥康納（Matthew McConaughey）
飾演、一心想要趕回家看女兒的庫柏心急如焚，想要盡量縮短探索Ａ
星球的時間，卻被滔天巨浪打得東倒西歪，不但損失一位同伴，還被
迫待上兩個多小時。然而這一耽擱不得了，他們回到太空船上已經過
去23年。

【星際效應劇照：Anne Hathaway與Matthew McConaughey】

　　庫柏看著從地球傳來的訊息，發現老父走了、兒子娶妻生子、女
兒雖然成長卻對父親失望……對庫柏來說，原本可以通訊聯繫家人的
23年光陰平白無故消失了，他等於在「家人的時間」中消失23年，這
如何不讓極度恐慌的庫柏充滿了悔恨及悲痛呢？若時間再這樣「浪費
」，趕回地球與家人相聚的機會渺茫。


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廣義相對論的基礎：等效原理

　　「消失的23年」是如此巨大，導致庫柏如此悲傷，馬修麥康納的
演技令人動容。其實這23年並非真的消失了，而是時間維度被強大的
重力場壓縮放大，因此，庫柏和布蘭達雖然只用了幾小時探索Ａ星球
，繞行黑洞的羅米利其實已經等了23年，而地球上家人的時間也過去
了23年之久，其背後的物理即為「重力時間延遲」，簡單來說：重力
場越強的地方，時間就會過的越慢。

　　狹義相對論中，彼此有相對速度的慣性座標系互相比較，可發現
時間延遲的現象很普遍（參閱誰來對我高談闊論「狹義相對論」、「
勞倫茲變換」），而愛因斯坦的廣義相對論則繼續探討「重力」對時
空的影響。

【Albert Einstein】

　　等效原理（Equivalence Principle） 是廣義相對論的基礎理論
，由愛因斯坦分別在西元1911年的論文《關於引力對光傳播的影響》
及1916年《廣義相對論的基礎》所提出。

　　愛因斯坦的「思想實驗」：想像在遙遠宇宙中有一艘太空船，太
空船裡的太空人拿起一個鉛球，太空人不僅發現鉛球有重量，也感覺
到自己有重量。這有兩種可能性，一是太空船正在加速前進，就像搭
乘電梯往上升時，會感覺到有一股力量把我們往下拉，此即為加速度
的「慣性力」；另一可能性則為太空船正停在一顆星球上，該星球的
重力場造成了鉛球及太空人感覺到重量，此即為「重力」。

【等效原理的思想實驗】

　　這個思想實驗說明，太空船裡的太空人無法分辨到底是「慣性力
」還是「重力」造成了重量感覺，兩者互為「等效」現象；重力場中
的靜止座標系可「等效於」加速中的慣性座標系。等效原理的發現，
讓人類首度意識並探討「慣性力」與「重力」的本質，如同愛因斯坦
曾說：「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更
深入了解慣性和引力的鑰匙。」

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庫柏的1小時＝家人的7年

【星際效應劇照：Ａ星球上的悲劇】

　　電影中，庫柏討論到Ａ星球的時間延遲現象，他們發現黑洞重力
場之強大讓時間極度延遲，在Ａ星球上的時間每過 1小時等於地球上
流逝 7年！「時間」成為必須考量的「消耗資源」，庫柏於是要求盡
快完成登陸探索任務，以爭取日後與家人重逢的機會，沒想到卻發生
意外，消耗那充滿悔恨與悲痛的23年時光……依據等效原理，我們可
以讓重力「等效」慣性力，推導並證明「重力場越強的地方，時間就
會過的越慢。」

【星際效應的等效原理】

　　假設Ａ星球與黑洞的距離為Ｒ並受到重力場ｇ，而庫柏的太空船
與Ａ星球距離為ｈ且幾乎不受黑洞的重力場影響（時間流逝的速度跟
地球一樣）。依等效原理，我們可以把Ａ星球視為正在加速遠離黑洞
，造成等效黑洞重力場的「慣性加速度」。當Ａ星球加速遠離，距離
黑洞剛好為Ｒ的瞬間，遠離速度為ｕ，此時Ａ星球往太空船發出光波
，庫柏可觀察到光波的都卜勒效應：

　　　　λ船＝（c－u）Ｔ船

　　其中，λ船、Ｔ船為庫柏觀察到的波長與時間，ｃ為光速。考慮
相對速度的時間延遲：

　　　　Ｔ船＝ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)

　　其中，ＴＡ為Ａ星球上的時間。於是庫柏觀察到的都卜勒效應變
成：

　　　　λ船＝（c－u）ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)

　　且ＴＡ＝λＡ／c：

　　　　λ船＝c(1－(u/c)) λＡ／c (1－(u^2/c^2))^(-1/2)

　　　　　　＝λＡ（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）

　　又λ＝c／f，ｆ為頻率：

　　　　ｆＡ＝ｆ船（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）

　　　　　　＝ｆ船／(1－(u^2/c^2))^(1/2)　(1＋(u/c))

　　因為遠離瞬間ｕ遠小於ｃ，所以(u^2/c^2)→0，
(1－(u^2/c^2))^(1/2)→1：

　　　　ｆＡ＝ｆ船(1＋(u/c))

　　頻率為時間的倒數：

　　　　Ｔ船＝ＴＡ(1＋(u/c))

　　所以我們可以得到太空船與Ａ星球的時間轉換式，其中速度ｕ是
「等效」慣性座標系的假想物理量，我們必須轉換成重力場中的某個
等效物理量。考慮速度與加速度的關係：

　　　　u＝at

　　Ａ星球受到黑洞重力加速度即為a＝g，而光波傳送的時間t＝h／c
，所以速度ｕ可等效轉換為：

　　　　u→gh／c

　　於是太空船與Ａ星球的時間轉換式變成：

　　　　Ｔ船＝ＴＡ(1＋(gh/c^2))

　　Ａ星球受到黑洞重力場為：

　　　　g＝GM／R^2

　　其中Ｇ為重力常數、Ｍ為黑洞質量，得到：

　　　　Ｔ船＝ＴＡ(1＋(GMh/c^2 R^2))

　　於是我們可利用等效原理，簡單證明Ａ星球上流逝的時間被延遲
了，比太空船上的時間還要慢；重力場越強的地方（Ａ星球），時間
就會過的越慢。帶入電影中的設定，太空船與Ａ星球的時間轉換式即
為：

　　　　7年＝1小時×(1＋(GMh/c^2 R^2))


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黑洞質量有多大？

【星際效應劇照：巨人黑洞】

　　由太空船與Ａ星球的時間轉換式，我們可以概略評估電影中這顆
「巨人」黑洞的質量到底有多大？代入重力常數Ｇ＝6.67×10^(-11)
m3/kg s2與光速ｃ＝3×10^8 m/s ：

　　　　2.21×10^8＝3.6×10^3 ×（1＋6.67×10^(-11)/(3×10^8)^2 Mh/R^2）

　　　　→　2.21×10^8～2.67×10^(-24) Mh/R^2
　
　　雖然Ｒ和ｈ仍為未知，但觀察上式並比較太陽質量（約為2×10^30
kg）仍可感覺黑洞質量Ｍ的巨大程度。目前人類所發現的最大黑洞位
於距離地球13億光年外的Apr147星系之中，質量約為太陽的 400億倍
！假設Ａ星球所繞行的「巨人」黑洞為此質量，那麼太空船不受黑洞
重力場影響（假設至少跟地球一樣g＝9.8）的距離為（Ｒ＋ｈ）：

　　　　9.8＝G×400×10^8×Ms／(R＋h)^2

　　　　→　(R＋h)～7.31×10^14 m

　　以及：

　　　　400×10^8×2×10^30 h／R^2 ～3.31×10^31

　　　　→　h／R^2 ～4.14×10^(-10) m^-1

　　可以求得Ｒ與ｈ的關係：

　　　　R～1.33×10^12 m

　　　　h～7.32×10^14 m

　　地球到太陽的距離為 1天文單位（AU），約為一億五千萬公里
（1.5×10^11 m）。比較後可概略評估Ｒ約為10AU，幾乎是太陽到土
星的距離。ｈ則約為5000AU，此為黑洞重力場剛好與地球一樣的距離
，但似乎太遠了……然而，若黑洞質量再小一些，或「時間消耗」能
控制在容忍範圍，庫柏的太空船便可更接近這顆「巨人」，或許就更
符合電影中的實際情況。

【星際效應劇照：Ａ星球上有海洋】

　　然而，電影中的Ａ星球上有海洋，即存在「液態水」，所以庫柏
一行人遭遇到滔天巨浪。若Ａ星球距離黑洞10AU，則可能會如土星因
為距離太陽太遠而「太冷」，使得液態水無法存在。為了符合電影中
的設定，或許能參照「地球」存在液態水的關鍵：地球與太陽的距離
。

　　雖然得考量很多因素，但我們可以繼續簡單假設，Ａ星球與「巨
人」黑洞的距離等於地球與太陽的距離，這樣液態水就有存在的可能
。令Ｒ為 1AU（1.5×10^11 m）：

　　　　Mh／(1.5×10^11)^2 ～3.31×10^31 kg/m

　　　　→　Mh～7.45×10^53 kg.m

　　得到黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式，然後加入原來「太空船不受黑洞
重力場影響」的設定：

　　　　9.8＝G×M／(R＋h)^2＝6.67×10^(-11)×M／(1.5×10^11＋h)^2

　　　　   ～6.67×10^(-11)×M／h^2

　　上式中，Ｒ遠小於ｈ可忽略。代入黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式可解
方程式：

　　　　h～1.72×10^14 m

　　　　M～4.33×10^38 kg

　　以上的估計結果與電影中的實際情況更為貼近：「巨人」黑洞的
質量約為太陽的 2億倍，而太空船與「巨人」的距離也拉近到約1000
AU了！





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→ mashmabo: 超人：鋼鐵英雄不是諾蘭導的,你應該說監製
推 Wonderwalk: 監製沒屁用  擺好看的
推 kikilolo: 為何從大的重力場座標回到原來的座標下，時間不用還回去
→ kikilolo: 23年。去花幾小時，遠離重力場應該要花幾十年才對吧
→ widec:    樓上這真是一個好問題...
推 pttuser999: 有考慮進去了吧 黑人第一句是說等了34年約5H
推 kikilolo: 我說主角自己應該要花幾十年才能回去原來的重力座標系
→ gary22204: 如果重力場不等於引力，回程只要20分鐘，有兩個時間座
→ gary22204: 標討論，黑人船上的跟主角船上，而回程就只是主角的時
→ IBIZA: 用的公式錯了  崩塌後的黑洞 完全不需要考慮質量
→ gary22204: 間座標跟黑人船上的趨近，船內體感時間不會變吧？
→ IBIZA: 因為黑洞的視界的半徑就會是2GM/c^2,  所以這時候只要計算
→ IBIZA: 視界半徑就行了, 而因為這個行星是軌道星體
推 kikilolo: 我不懂主角用大的重力座標觀察完別人與自己的時間差，
→ kikilolo: 當他回去原來的座標下，為何不用重新再觀察一次，而是
→ kikilolo: 直接用大的重力座標系統看別人跟自己
→ IBIZA: 所以直接用T0=Tf根號(1-3/2*R0/R) 就行了
→ kikilolo: 我不懂物理名詞，可能表達不清楚
→ IBIZA: 遠離重力場 時間只是復原  並不會「還回去」
→ IBIZA: 假設星球表面是1:六萬,那接近的過程就是從1:1逐漸變成1:6萬
→ IBIZA: 回來的時候就是從1:6萬逐漸變成1:1, 並不會發生倒過來6萬:1
→ IBIZA: 以上不考慮速度(電影也沒考慮)的情況
推 kikilolo: 對呀，回復成23年
推 maikxz: 第一顆星講訊號一直在傳遞，結果對那星球上面的人只是剛
→ maikxz: 剛發生的事，這段真的很有感...
推 Sephiroth: ki大,你可以想像成兩台手扶梯,一台是等速度前進 代表
→ Sephiroth: 地球的時間 簡稱A,另一台是太空船中的主角經歷的時間
→ Sephiroth: 簡稱B,AB上的兩人本來並行,B逐漸接近黑洞,手扶梯速度
→ Sephiroth: 開始變慢->近乎停滯,這是AB上原本並行的兩人距離拉開了
→ IBIZA: kikilolo 回復成1:1
→ Sephiroth: 當主角要從黑洞周邊回到正常時空中,B從近乎停滯逐漸加
→ Sephiroth: 速,直到恢復到跟A一樣的速度,但是原本並行的兩人所拉開
→ IBIZA: 我們用速度來舉例好了...
→ Sephiroth: 的距離還是在那,無法回復
→ IBIZA: 假設正常的時間是 每秒跑1公尺的速度
→ IBIZA: 當它們接近那顆星球  速度會從每秒1公尺 每秒2公尺 一直增
→ IBIZA: 加到每秒60公里  出來的時候會從每秒60公里開始減少
→ IBIZA: 每秒50公里 40公里 30公里  一直到回復成每秒1公尺
→ IBIZA: 這整個過程都不會出現比外界正常時間更慢的情況
→ IBIZA: 所以不會出現「還回去」這種事情
推 logLCY: 那個好像不是水 ?
→ IBIZA: 是水沒錯　有回傳資料
→ IBIZA: 另外給原po, 液態水不可能存在不是距離問題　而是引力問題
→ IBIZA: 在重力時間膨脹達到六萬倍的地方　除了堅固的附著物之外
→ IBIZA: 根本不該有任何東西附著在星球上　事實上登陸也不可能
→ IBIZA: 這還不說要再重力這麼強的地方保持天體軌道　　這顆星球速
→ IBIZA: 度得多快..
→ arthur81214: 不管你們討論的怎樣 標題已經算是有雷的成分在了吧
推 Wonderwalk: 錯了   狹義相對論是平坦時空沒考慮重力 廣相重力變
→ Wonderwalk: 成時空曲率
推 cali2707: 標題有雷吧.....
→ widec: 我是想說...從重力6萬倍的地方離開 能源耗費也是要幾萬倍吧
→ widec: so我想k大質疑的是 在同樣能源下飛離6萬倍重力星應也要23年
→ widec: 畢竟那是個連電波要傳遞出來都要花10年20年的大海星...
推 Sephiroth: 樓上,不管如何 已經造成的時間差距也不會縮短回來
→ Sephiroth: 因為整趟旅程(包含來回)都處在一個相對時間≦地球時間
→ Sephiroth: 的時空中
推 kikilolo: 那廣義相對論雙生子的問題呢
→ IBIZA: 廣義相對論沒有雙生子問題  那是狹義
→ IBIZA: 我剛剛就在想你是不是把廣義相對論搞錯成狹義了
※ 編輯: shonn (60.251.146.64), 11/13/2014 16:09:01
→ IBIZA: 重力時間膨脹跟方向無關  速度引發的時間膨脹才跟方向有關
噓 ll35566: 第一條公式就用錯了
推 Mtguide: 有專業~