※ 引述《travelfox (巧克力和爽喉糖)》之銘言：
: ※ 引述《osz (腳踏車上的貓)》之銘言：
: : 2.同樣的機率問題,丟硬幣兩枚 已之其中一枚是正面
: : 則另一枚是反面的機率是多少?
: : 這句話換成數學語言應該是
: : 丟二次硬幣,在已知其中一枚是正面的條件下,
: : 求另一枚是反面的機率?
: : 也就是條件機率..
: : (1/4) / (3/4) = 1/3
: : 還是跟答案不一樣
: 想也知道第一枚硬幣的結果不會影響第二枚硬幣是正是反的機率
沒錯..
可是題目問的不是第二枚硬幣是正是反的機率...
是一枚正面的情況(條件)下另一枚是反面的機率..
我們假設第一枚正面時第二枚正面機率是 x
第一枚正面時第二枚反面機率是 y
第一枚反面時第二枚正面機率是 w
第一枚反面時第二枚反面機率是 z
因為"想也知道第一枚硬幣的結果不會影響第二枚硬幣是正是反的機率"
所以 x + w = 1/2, y + z = 1/2
但是這個1/2跟題目一點關係也沒有...
題目要問的是: x,y,w中, y和w佔了多少?
(有一枚是正面的情況下, 另一枚有多少可能是反面?)
1/2的地方很好理解,
下一句是不是就覺得很難懂?有的部分好像不清楚是不是對的?
那是因為我們用了比較不好的方向(獨立事件)切入題目,
雖然理論上會算出一樣的答案,但是可能要繞很遠的路,
現在我們換另一種比較貼合題目的方法來想想
把二枚硬幣丟在桌上,有三種結果:正正, 正反, 反反
(正反是說一正一反,沒指定哪一個正哪一個反)
我們知道其出現機率是 1/4, 1/2, 1/4
現在我跟你賭錢,我丟二枚硬幣,然後把其中一枚蓋住,
讓你在 正正, 正反, 反反 其中一個下注,都是一賠一
你開始跟我玩了,
有一次丟的結果,沒蓋住的那枚是正面,另一枚被我蓋住了,
你沒有笨到會下注在 反反,但是你猶豫不決,不知道我手裡的是正還是反 ,
我就跟你說,我可以保持這個姿勢一小時,你可以想一個小時再來下注,
所以你跑到批踢踢的puzzle板問上面的高手,
上面的高手意見都一致, 正反 的機率比較高,所以你下了 正反,
結果你贏了錢,心理很高興,
事後你回到puzzle板看你問的題目,發現你寫的是:
丟硬幣兩枚,已知其中一枚是正面,則另一枚是反面的機率是多少?
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這樣有沒有比較了解題目問的意思了?
我們回想這次下注,
手中蓋著的硬幣可能是正也可能是反,
如果是正你就該押正正, 是反你就該押正反
因為任丟二個硬幣,出現正反的機率(1/2)比出現正正的機率(1/4)大,
所以你押正反,
由於沒蓋住的硬幣是正,所以反反已經出局了,
這次下注中,下正反贏的機率為 (1/2) / (1/2 + 1/4)
宇集合由全部的情況改為不包括反反的情況,
這種情況改變下的機率計算方法,在數學上我們稱之為條件機率
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回到純數學,
條件機率的公式
p(a|b) = p(a^b) / p(b) (高中數學)
a: 另一枚為反面
b: 一枚為正面
a^b(a交集b): 一枚為正面, 另一枚為反面
所求 = (2/4) / (3/4)
= 2/3
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前面網友的圖解是對的,
至於另一位網友所說,
為什麼不設第一枚丟下的機率是1
如果第一枚是正的話, 第二枚是反的機率是 1/2
如果第一枚是反的話, 第二枚是正的機率也是 1/2
因為第一個情況的補集是正正,第二個情況的補集是反反
你在計算中不知不覺轉換過空間了,
所以這二個數字的比較沒有意義,
(比較不數學的講法:你把一個題目的答案拿到另一個不相干的題目裡用了)
這二個1/2的比較變成有意義的方法是,
讓補集都是 非(一正一反),
如果是這樣子的話,恭喜你,
你解了一個名為"丟硬幣二枚,求一正一反的機率"的題目
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還是不了解的話,找人玩玩我那個賭錢游戲:)
大部份人的茫點在於...實際上並沒有第一枚和第二枚
再回到最前面的獨立事件算法部分,
x,y,w,z都是1/4, 希望那些直覺就認為此題答案是1/2的人
不會以為x,y,z,w就是1/2
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正面比較可愛,
玩偶比較可愛,
嗯..妳最可愛了....
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