[問題] 用骰子選人當鬼

[DreamYeh (天使)]

這是我和小朋友教學時候實際遇到的問題，實際上當時沒有得到一個滿意解答

因此來挑戰一下大家頭腦！希望能集思廣益，得到一個最好答案

問題是這樣子的：


　　有七個小朋友，要"公平"選出一個人出來當鬼
　
　　我們有一顆骰子，可以公平擲出１～６，但我們有七個人啊！
　　在不借用其他工具下，請提出最佳策略，可以擲最少次骰子來選出一個鬼。

　　記得～如果你的策略需使用的次數不一定，你需要算個期望值出來比較！



比方說一個直覺策略是這樣：
「每個小朋友各丟一次，選出丟的點數最大的那一位」

但這樣至少也要丟七次，甚至可能要更多次，可以算出個期望值，但無論如何都
不是良好策略


另一方面，你不可以提出個不公平的策略，譬如說：
「丟骰子兩次，將總和加起來，然後除以七看餘數」，是只丟兩次就好，但很容
易證明不公平。


當時和幾個朋友討論，最佳策略是2.xx次，不知是否有人能找出更好的策略呢？

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◆ From: 1.34.96.93
※ 編輯: DreamYeh        來自: 1.34.96.93           (11/29 12:41)
推 babufong:用骰子的八個角當1~7跟再擲一次咧？
推 autumned:不用其他工具怎麼判斷擲出哪個角@@?
推 walkwall:兩次骰合除七餘數會不公平嗎  如果扣去合為七的任一CASE
→ walkwall:(例如先1後6重骰)則機率都是 5/36阿?
推 walkwall:如此則期望值為72/35約2.057次
推 tp:1.畫張七分圖，把骰子從中間丟下，看滾到哪邊 2.不用骰子，抽籤
推 newacc:同意走牆大的2.057
→ tp:走牆大只有考慮餘1~6是一樣的機率，可是有七個人
推 newacc:規定骰到先1後6重骰，這樣0~6機率都一樣啊
推 walkwall:是七個阿  2+9 3+10 4+11 5+12 6 8 都是5/36阿 7去掉1個
→ walkwall:case後也是5/36
推 allen65535:先猜拳出一個人不用當鬼，然後再丟骰子
→ allen65535:只是這樣可能要花更多時間 XD
→ walkwall:XD 那這樣就一直猜拳到分出來就好了  都不用骰
→ walkwall:或者先黑白後猜拳  可是這樣就離題了
→ allen65535:對啊，結論是用骰子幹嘛 XD
→ walkwall:XDDDDD
→ tp:是我看錯了
推 babufong:擲出骰子你頂多看到三面　以擲骰人看到的三面那角為主
→ babufong:如果很幸運只看到兩面　就以左（或右）手那面為第三面
→ babufong:手應該不算額外的其他工具吧XD
推 walkwall:嗯嗯  如此說來  看角的確是個好方法
→ DreamYeh:我還是第一次看到看角的方法 太佩服了XD
→ DreamYeh:另外抽籤、畫圖都屬於額外工具..
→ DreamYeh:walkwall提的去除case法就是我和朋友討論的"最佳解"
→ DreamYeh:猜拳的算來亂的XDa...這樣就不用出題了啊(翻)
→ DreamYeh:嗯 看角屬於"創意性解答" 原題是問"邏輯性解答" 不過也不
→ DreamYeh:錯...但要擴展成n人挑鬼 就還要在動一下腦了@w@\
推 AlexCYW:隨便想了一個 不知道有沒有錯：六個人代表1~6
→ AlexCYW:第七個人 從1~6選一個 然後擲骰 如果剛好擲到猜到的
→ AlexCYW:就由他和 第n人 分別代表奇偶 在擲一次
→ AlexCYW:這樣 第七個人的機率會跟其他人中的機率一樣嗎?
推 AlexCYW:好像第七個人比較衰?
推 AlexCYW:不對 機率是前六11/72 第七人6/72 想錯了
推 autumned:為什麼一定要看總和啊
→ autumned:就連續丟兩次 有36個case 一個排除掉
→ autumned:剩下的35個Case平分給每人5個...
推 LPH66:看總和比較快吧 @@
推 stimim:一樣的意思吧，假設骰子是0~5，兩次是分別是x, y,
→ stimim:令 (6x+y)%7 就是選到的人，x=y=0 重來一次
→ DreamYeh:to autumned 你那個也是一種策略 你可算丟次數期望值
→ DreamYeh:基本上我是蠻希望能得到<2的策略啦 不過好像很難XDD
→ DreamYeh:話說怎麼大家都用推文的呀 沒人想灌水XDa
推 stimim:我覺得應該可以證明 < 2 是不可能的 @@
→ DreamYeh:我也覺得可以 但怎麼證/w\?
推 isnoneval:2 很好證啦, 倒是這個方法應該可以證明是最佳解
→ isnoneval:如果我沒想錯的話
→ isnoneval:晚上有空的話來寫一下 XD
→ isnoneval:雖然操作上是一樣的, 但是用 autumned 的想法比較好
推 jurian0101:被搶先XD 感覺36取7*5+1重擲 期望~2.057次已經很理想了
→ DreamYeh:板上高手果然很多(_ _) 虧我當年跟朋友討論半天 是有討論
→ DreamYeh:出2.057這個 但沒證明這是最佳解
推 puzzlez:走牆叔是數學宅 超強的說~~
推 puzzlez:PUZZLE板SLOGAN ~~請找isnoneval大  證明就靠他~~
推 walkwall:( ′▽`)a  啊哈哈哈哈...
→ rofellosx:小朋友圍一個圈擲骰  離骰子最近的人當鬼
推 AlexCYW:總之就是7這個數字真的神奇又難搞
推 puzzlez:嗯 所以有人發明了抓鬮.....
推 jurian0101:但還是會與到有潔癖，必須保證有p=1/6以及保證有限次之
→ jurian0101:類的，因此我們就有謎題可以算了 > <
→ DreamYeh:是沒想到這個小問題可引發這麼有趣的討論:P
推 mauweish:直接七個小朋友打架搶骰子 搶到的人當鬼
推 mauweish:一次都不用骰
推 FantasyRey:小朋友圍一圈 在正中間丟骰子
→ FantasyRey:最靠近誰 就以誰為準順時鐘加上骰出來的點數  他當鬼~