Re: [問卦] 傅立葉轉換是怎麼想出來的？

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《arrenwu (二乃騎士)》之銘言：
: 這邊我想大家就看得出，Cn的大小可以看成 相對應頻率的三小函數 在f(x) 中的分量
: 這之後呢，你如果把一般函數想成「週期很大很大所以看不太出週期」的函數，
: 也就是想像 T→∞ 的情況，就變成 Fourier Tranform 了

很久以前就聽過這樣的說法，但我不確定這到底對不對。

但是Fourier transform確實是Fourier series的analog，而且可以推廣到更多狀況上。

要了解這一點，首先我們要了解到底為什麼三角函數如此特別，以及如何正確描述這樣的

現象。

                                                          x   -x   2x   -2x
事實上，我們可以用指數函數作為一組(更好的)基底：改用 1,  e,  e ,  e ,  e   ...

(假設週期為1)。這組函數有很好的性質：以1為週期的函數可以看成 R/Z 上的函數，

同時 R/Z 上有個從 R 來的群結構。這些函數是所有從 R/Z 打到複數中的單位圓，並保持

群運算(加法變乘法)的連續函數。特別地，這些函數以乘法形成一個群。


收斂性也可以用這組函數來看。我們可以寫出 Poisson kernel (在Fourier transform

的 case 是 heat kernel)然後證明對夠好的函數的收斂性。用這些kernel也可以解給定

邊界條件的 heat equation。詳情可以看 Elias Stein 的書。Google search 把那套書分

類為 liturature。


但是問題是到底對哪些函數會有這樣的收斂性？如果有斷點，那 Fourier series會收斂到

左右極限的平均值，代表他收斂到的函數和在該點的值其實是沒有關係的。而且 partial

sum 在斷點附近都會有詭異的行為(去看影片)。一般來說，如果一開始的函數沒有很好的

可微性質，那他的收斂不會有太好的結果。另一方面，我們可以隨堆找一堆係數 { c  }
                                                                          n
然後考慮這個 Fourier series:
                                       ∞        inx 
                              f(x) =   Σ    c  e  
                                     n= -∞   n            。

如果這個數列太隨便的話那是不會收斂到好的函數的。那到底要考慮哪些函數？

                                       2            2
答案是， Fourier coefficient 建立了從 L ( R/Z ) 到 L ( Z ) 的同構，而且

    2
在 L  的意義下，Fourier series 會收斂到原本的函數。



這件事可以推廣到所有的 abelian topological group 上。對於一個

abelian topological group G ，我們考慮

               *
              G  =  G 上面的所有打到單位圓的保持群運算的連續函數

並且讓這些函數以乘法形成一個群。因為這個新群的元素都是連續函數，他上面可以有一

個(在 Functional analysis 裡的)自然的拓墣，讓它也是一個 abelian topological
                 **
group。可以證明 G   =  G，這個操作

                           Λ               -1
                           f (ξ) =  ∫f(x)ξ (x) dx

        2          2    *
建立了 L ( G ) 到 L  ( G ) 的同構，並且 Fourier inversion formula成立。

                                       *
現在我們可以看幾個例子。如果 G = R/Z，G = Z， with discrete topology。

這個例子就是 Fourier series 。
             *
如果 G = R，G 也是 R 。我們可以選這個同構：

                                       2πiξx
                            ξ( x ) = e          。

這種狀況稱為 R 是 self-dual 。
                                                        *
在這個同構下會有神奇的狀況發生。把 Z 想成 R 的子群，則 Z = R/Z 的同構可由它得出

，並且我們會得到 Poisson summation formula。


這個東西在數論裡也有用處。 John Tate 的博士論文考慮了某些數論裡會出現的自然的

self dual abelian topological group，並且找了適當的子群做 Poisson summation

formula。他論文的結果給了各位鄉民很喜歡的 Riemann-zeta function 的推廣的

analytic continuation，並且定義了仍是現在研究的標準語言的不變量。






八卦是偉大的 Jonh Tate 今年10/16過世了， QQ






還有一花是我的

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(如果你是一座島的島主 那這座島上最重要的守則是什麼?)

"每位滿20歲的國民都要會Galois theory"

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→ Firstshadow: (づ′・ω・）づ 那有沒有digital
推 teremy: 恩恩 字都看得懂 湊在一起就看不懂了
推 linlin110: 快推不然別人以為我看不懂
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推 yorkyoung: 嗯嗯 跟我想的一樣
推 I352: 的確 你這樣推導也是不錯
→ jodojeda: 傅立葉教授在陽明公衛所服務
→ jodojeda: https://tinyurl.com/yxwq4yfn
推 boyen0917: 但裡面還是有些小問題 不過無傷大雅