→ sweetleo:Q48忘記打上@@ Q48我是只有覺得甲跟乙是正確的~ 07/20 17:59
推 jstsai:丙是錯的..因數包括正和負的..所以應該是18個 07/20 18:00
→ sweetleo:OK 了解了 感恩~ 07/20 18:02
→ spfish:我覺得乙丁正確，因數的集合不會包含倍數集合吧?(甲) 07/20 18:48
→ spfish:而3會6有無限個倍數(丁) 07/20 18:49
→ spfish: 36會 07/20 18:50
推 thepiano:甲乙丁三個正確 07/20 20:04
→ sweetleo:感恩喔:) 07/20 20:53
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作者: fenderleu () 看板: studyteacher
標題: [考題] 100中區國小數學Q.50 (已爬文)
時間: Wed Dec 21 16:37:51 2011
各位前輩大家好，小弟初次在此發文
想向各位請教一些疑惑...
之前有2篇文章 #1E9gQTrP #1EUQmyZW 有討論此題
原題目如下
甲：An表n之所有倍數之集合，m是n的因數(m＜n)，則An⊂Am且An≠Am。
乙：Jn表n之所有因數之集合，m是n的倍數(m＞n)，則Jn⊂Jm且Jn≠Jm。
丙：n=36時，Jn共有9個元素。
丁：n=36時，An共有無限多個元素。
關於因數與倍數的敘述，正確的共有幾個？
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之前討論答案是3個，
甲、乙、丁是對的，丙是錯的，
因為因數要考慮負的，
在此小弟有3個疑問
Q1.若考慮負因數，小弟認為甲、乙、丙都錯，只有丁對
(請看下方 # 含負因數 解法 #)
Q2.除了因數，那倍數、最大公因數、最小公倍數也有正負，都要考慮？
所以2和4的最小公倍數應該是 -2n ？ (2n代表無窮大正整數且是偶數)
Q3.如果這題只考慮正整數(不含零)，那甲、乙、丙、丁，誰對誰錯？
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# 含負因數 解法 # (備註：不考慮零)
因為 ±n 是 ±n 的因數，故也是 ±n 的倍數
假設 m = -3 ， n = 3
先判斷以上假設是否成立 (必須符合甲敘述的條件)
-3是3的因數 ....... 符合
-3＜3 ............. 符合
條件都符合，假設成立
再驗證甲的推論
An和Am的元素都是 ±3 ±6 ±9 ±12 ...
An的元素Am都有，故An⊂Am的推論 ............ 成立
兩集合的元素完全相同，故An≠Am的推論 ...... 不成立
甲的第2個推論不成立，甲是錯的
另以 m = 3 n = -3 來驗證乙，Jn≠Jm的推論也不成立，
所以甲、乙、丙都錯，只有丁對
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備註：
整數包含 正整數、負整數、零，
所以當n是整數且n≠0時
0 是 ±n 的倍數，不是 ±n 的因數
±n 是 0 的因數，不是 0 的倍數
但通常在討論因數、倍數時是不考慮0的，
所以小弟的解法不考慮0
雖說通常不考慮零，
但數學中好像沒有對"通常"兩個字下定義，
上面那題...小弟也不知負數算不算"通常"的範圍？！
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.161.193.97
推 thepiano:最大公因數和最小公倍數只在正整數範圍討論 12/21 21:23
→ thepiano:關於甲和乙敘述,您舉的反例是正確的 12/21 21:26
推 thepiano:若m和n是正整數,則僅丙錯誤 12/21 21:31
→ thepiano:0是任一非0整數之倍數 12/21 21:32
→ fenderleu:請教T大~因題目未說明是否考慮負數,如果只考慮正數 12/21 22:34
→ fenderleu:m,n,因數,倍數等都是正數,那四項敘述誰對誰錯? 12/21 22:35
→ fenderleu:又如果考慮負數,m,n,因數,倍數等都可以是負數 12/21 22:37
→ fenderleu:是否只有丁對? 12/21 22:37
→ fenderleu:從原答案來看(丙錯),題意是m,n為正,但因數要考慮負的 12/21 22:40
→ fenderleu:這種情況...是"通常"的情況嗎? 12/21 22:41
→ fenderleu:因小弟也看過因數的題目,只考慮正因數的(但題目未說明) 12/21 22:42
推 thepiano:若m,n,因數,倍數等都只考慮正整數,那四項敘述都對 12/21 22:49
→ thepiano:若m,n,因數,倍數等可以是負整數,只有丁對 12/21 22:50
→ thepiano:原題應該加上m和n是正整數這個條件才好 12/21 22:50
→ thepiano:通常題目未註明時，仍要考慮負因數 12/21 22:50
→ fenderleu:了解~這樣解說清楚多了,多謝T大的指教,感恩喔^^ 12/21 23:06