[多變數][F_xy ≠ F_yx 的例子]
作者 yhliu (昏頭轉向的老怪物) 看板 math
標題 Re: 偏微分一問...
時間 Sun Jul 8 06:22:01 2001
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f_xy ≠ f_yx 的例子
f(x,y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) if (x,y)≠(0,0).
= 0. if (x,y)＝(0,0).
We have: D_(1,2)f(0,0) = 1 .
D_(2,1)f(0,0) = -1.
至於你所說的, 要在某些條件下才會對. 定理陳述為:
D_(1,2)f(x,y) = D_(2,1)f(x,y) if f is C"(S).
証明找書看就好 --- 一般初微可能沒有 (除非數學系用的),
查一下高微 (圖書館或書店)。
至於「為甚麼」, 直觀的, 由偏導的定義, 不取極限, 取近似,
不難發現兩者相等是合理的。但因實際上偏導數是取極限的結果,
且交叉偏導涉及兩重極限, 因此合理的不一定對。
不對的原因在於極限順序不是任意可互換的。
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我呀肥阿
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