作者 yhliu.bbs@ms.twbbs.org (越老越怪的老怪物), 看板 Math
標題 Re: 什麼時候要用到數學歸納法ㄋ
時間 盈月與繁星 (Mon Jul 21 00:57:38 2003)
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如果一個命題是和整數 n 相關的,
以 P(n) 表示。
要証明 P(n) 對所有正整數 (或某些正整數成立),
但無法直接証明這件事。則可以考慮數學歸納法。
能以數學歸納法証明的條件:
(1) 開頭的 P(n) 可以証, 如可以証 P(1) 成立。
(2) 可以由前面的結果 (P(1),...,P(k) 成立) 推論
出新的 (P(k+1) 成立)。
Example:
P(n): 1+2+...+n = n(n+1)/2
(1) P(1): 兩邊以 n=1 代入, 結果相等, 所以 P(1)
成立。
(2) 假設 P(k) 成立, 即 1+...+k = k(k+1)/2。
要証明 P(k+1) 成立, 即
1+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
証明:
1+...+k = k(k+1)/2
故 1+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)
= (k+2)(k+1)/2
故 P(k) ==> P(k+1)。
原理:
P(1) 成立, 且 P(k)==>P(k+1) 對所有正整數 k 成立。
故由 P(1) 推出 P(2),
由 P(2) 推出 P(3),
由 P(3) 推得 P(4),
以此類推。
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