[求極限]

[FATTY2108 (阿肥好想進台大)]

※ 引述《[e-mail] (阿肥好想進台大咩)》之銘言：

: ｌｉｍ  [x*ln(1+x^-1)]^x
: x→ ∞


StatGuest (統計過客) 提供解答

令 t=1/x

ln(1+t)=t-t^2/2+O(t^3), 當 t-->0+

原式=(1-t/2+O(t^2))^(1/t)-->e^{-1/2}, 當 t-->0+

"O(t^3) 當 t-->0+" 表示

   存在 M 使得 |O(t^3)|<Mt^3, 當 t-->0+



後記心得:

原先就是覺得用羅必達有困難 (能否適用未知),

所以才祭出展開式這招。:p

不過, 現在想想, 原式以 t=1/x 代, 取對數成為


    ln((ln(1+t))/t)
    ---------------
        t


當 t-->0+ 時 ln(1+t)/t 趨近 1, 且 [ln(1+t)]/t

在 t != 0 時可微分。因此是可考慮羅必達...

分子寫成 ln(ln(1+t))-ln t, 微分後通分, 成為

    t - (1+t)ln(1+t)          -ln(1+t)
  --------------------- ～ -----------------
     t(1+t)ln(1+t)          t+(1+2t)ln(1+t)


                          -1
                = ---------------------
                    t/ln(1+t) + (1+2t)




因 t/ln(1+t) --> 1, 當 t-->0+, 故上式極限為 -1/2,

而原極限式得極限值뀠exp(-1/2)。

--
                              ←
                           我呀肥阿
                         ↓真    是↑
                           的真的不
                              →
~

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 218.184.96.137