[證明]極限不存在

[FATTY2108 (阿肥好想進台大)]

※ 引述《lancelet (8/5)》之銘言：
       在證明極限不存在時

       先從邏輯分析

       針對趨近實數 c 的情況討論

       極限存在:

       對於所有正數ε, 存在正數δ,
       0 < |x - c| < δ -> |f(x) - k| < ε

       極限不存在:

       ~(對於所有正數ε, 存在正數δ,
         0 < |x - c| < δ -> |f(x) - k| < ε)

       ≡存在正數ε, 對於所有正數δ,
         ~(0 < |x - c| < δ -> |f(x) - k| < ε)

       ≡存在正數ε, 對於所有正數δ,
       ~[~(0 < |x - c| < δ) or |f(x) - k| < ε]

       ≡存在正數ε, 對於所有正數δ,
       ~[~(0 < |x - c| < δ)] and ~(|f(x) - k| < ε)

       ≡存在正數ε, 對於所有正數δ,
       0 < |x - c| < δ and |f(x) - k| > ε

       <例>證明 Dirichlet 函數不存在時

       Dirichlet函數   f(x) =  { 1,    x為有理數
                               { 0,    x為無理數
       先從圖形觀察

       此函數是 y = 1 及 y = 0 兩條破碎的直線


                     ↑y
                     ∣
        ------------------------- y=0 →x
                     ∣

        假設極限存在

        lim  f(x) = k,  k是實數
        x-> c

        k 介於 0 , 1 之間

        設法導出矛盾, 方法有很多, 若採用 ε-δ 定義

        則固定 ε 來滿足 |f(x) - k| > ε

        所以取 (k-ε,k+ε) 小於 (0,1)  取 ε = 1/4

        lim  sin(1/x) 不存在  用同樣方法可證得(要配合阿基米德性質)
        x-> 0

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※ 編輯: lancelet        來自: 218.166.130.175      (08/03 16:12)
→ lancelet:糟了, 推文被我弄掉了 >"<
→ venson:推文不見囉~~~>"<
→ FATTY2108:我先m
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                           我呀肥阿
                         ↓真    是↑
                           的真的不
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