作者 yhliu (越老越怪的老怪物) 看板 yhliu
標題 積分順序/積分界限之例
時間 Mon Jun 16 15:17:12 2003
※ 引述《okayo.bbs@bbs.badcow.com.tw ( )》之銘言：
: 1 y x ? ? ?
: 請問如何從∫∫∫ x^2 dzdxdy 求出∫∫∫ x^2 dydzdx
: 0 0 0 ? ? ?
: PS:請問一定要用畫圖的方法嗎?有沒有什麼特殊技巧?
: ^^^^^ ^^^^^^^
: 這個我不會! 我比較希望知道這個!-_-"
0<z<x. 0<x<y, 0<y<1
^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^
(1) (2) (3)
由 (2), (3) 得 x<y<1 (給定 x, z)
由 (1) 得 0<z<x (給定 x)
由 (2), (3) 得 0<x<1 (x 的最大範圍, 因 y, z 均已積掉)
故新的積分界限 (由內至外): x<y<1, 0<z<x, 0<x<1。
(檢查: 由此三個界限, 可反推原界限。故兩者確代表同一區域。)
: > 1 y x ? ? ?
: > 請問如何從∫∫∫ x^2 dzdxdy 求出∫∫∫ x^2 dydzdx
: > 0 0 0 ? ? ?
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 這樣就可以算出答案吧!!!
: 題目真的是這樣問你嗎???
: 如果是畫圖或是特殊技巧我也不清楚耶,可以請知道的告訴一下嗎??
題目的用意不在於 "求出積分結果", 而是 "改變積分順序"。
更明白地說, 是 "決定積分界限" 的練習。
事實上三個變數有六種順序。所以, 除了原列順序及所問順
序外還有四種。
本題積分範圍很簡單:
將原積分界限寫成: 0<z<x<y<1, 則任一順序立即可得。
例如, 先對 x 再對 y 最後對 z 之積分, 即為
z<x<y, z<y<1, 0<z<1
基本觀念:
最內層的積分界限, 是外層變數 "固定" 之下的界限;
考慮外層積分界限時, 內層積分變數已積掉, 相當於做投影。
例如三個變數, 以此例來說, 0<z<x<y<1, 假設積分順序是
x -> z -> y。
(1) 最內層 x: 假設 y, z 固定, 故 x 的界限是 z<x<y。
(2) 中層 z: 已將 x 積掉, 即 0<z<x<y<1 投影到 yz-平面,
為 0<z<y<1。此時 z 成為內層, y 固定, 故界限 0<z<y。
(3) 外層 y: 此時變數 x,z 均已積掉, 即原積分範圍投影到
y 軸, 得 0<y<1。
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嗨! 你好!
謝謝你來看我的文章! 請多指教! :)
祝你今天全天 happy!
天天都 happy 啦! :)
我是老怪物...瘋狂老怪物...
我最怕被你打聽底細....所以...我要溜了! :p
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