作者 yhliu (越老越怪的老怪物) 看板 math
標題 Re: 微積分肉腳請問微積分
時間 Wed Jul 31 21:29:15 2002
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※ 引述《charlez.bbs@bbs.cs.nccu.edu.tw (哇勒塞拎老師勒)》之銘言：
: 始終搞不懂 d 和趴秀 偏微和全微
: 誰可以說說嗎
: 偏微是就把要微的唯一微其他當常數 那全微分呢
: 比如說U=U(x.y) 全微
: dU=(趴修U/趴修x)*dx+(趴修U/趴修y)*dy
: dx和趴修x不一樣在哪阿
這種簡單問題我來就好了, 何必動到高微?
設 u=U(x,y), 是雙變量函數。
當考慮所謂 "偏微分"(動詞) 或 "偏導數"(名詞)時,
是把雙變量函數之中的兩個變數固定其中之一,
而只看另一個變數對 u 的影響。例如:
令 Dx(u) 表示 partial u/partial x (對 x 的偏導數),
是把 y 固定, 只有 x 變動時看它對u=U(x,y) 的影響。
同理, 令 Dy(u) 表示對 y 的偏導數, 則是把 x固定,
看只有 y 變動時對 u=U(x,y) 的影響。
但 u=U(x,y) 的 x, y 都是自變數, 兩者都可在一定範圍內自由變動。
因此, 有時候我們需要知道:
當 x, y 同時有微量變動時, 對 u 的影響大概有多少?
也就是看 U(x+dx,y+dy) - U(x,y)的近似值。
在可微分條件下, 忽略 dx 和 dy 的交叉乘積及高次項效應,
得其近似值 dU(x,y) = Dx(U(x,y))*dx + Dy(U(x,y))*dy
這式子即是 U(x,y) 的 "全微分" (名詞)。
注意這裡 "偏導數" 和 "全微分" 有兩點不同:
(1) 偏導數一次只看一個自變數的影響, 其他
自變數則暫時固定; 而全微分是所有自變
數同時都可以動。
(2) 偏導數, 以及單變量函數中的 "導數", 其
意義和 "微分"(differential) 是不同的。
導數 (derivative) 及偏導數 (partial
derivative) 看自變數對依變數的影響,
是標準化過的, 也就是化為
自變數變動一單位時依變數變動多少單位?
而 "微分" 則是看
自變數實際變化某個量, 造成依變數影響
有多大?
這是沒有標準化的。
因此, 如果只有一個自變數 x, u=U(x), 則
對 x 的導數 = du/dx = U'(x)
微分 = du = dU(x) = U'(x)*dx
有兩個自變數 x, y 時, u=U(x,y), 則
對 x 的偏導數 partial u/partial x = Dx(U)
全微分 = Dx(U)*dx + Dy(U)*dy
= (x 有 dx 變動而 y 不動時對 u=U(x,y) 的效應)
+ (y 有 dy 變動而 x 不動時對 u=U(x,y) 的效應)
偏, "partial", 講的是 "部分" 的影響;
全, "total", 說的是 "全部" 的效應。
而 "導數(derivative)" 講的是 "改變率"(rate);
"微分 (differential)" 談的則是 "改變量"(value)。
所以, 如果 u=U(x,y) 代表消費甲物 x 單位及
乙物 y 單位所獲得的效用, 則
偏導數看的是某物增減一單位消費量而其他物不變時,
效用會改變多少?
全微分看的則是: 兩種財貨的消費量各有某微小幅度
變動時, 效用改變了多少?
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