作者 StatGuest (統計過客) 看板 math
標題 Re: 誰能教我lagrange multiplier? 當補習吧
時間 Thu May 23 04:41:31 2002
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※ 引述《Apostol.bbs@bbs.cs.nthu.edu.tw (.................)》之銘言：
: ※ 引述《hsf.bbs@bbs.ee.ncu.edu.tw (無聊男人)》之銘言：
: > 最近要用到 lagrange multiplier method 求 X+入Y 的 最小解,
: > 但是本身並非數學很好, 看了老半天都看不懂...
: > 是非線性的ㄅ...
: > 有人能教我嗎...並告訴我大概需要多少coco...
: > 請回信給我..qq
: 一開始我也看不懂, 看了好幾次還是不太懂. 直到我從幾個簡單的例子慢慢弄.
: 看哪裡出狀況, 比對一下定理, 書上的作法之後, 然後多做幾個例子, 多想幾
: 次. 我想自修應該不是什麼大問題了.
: lagrange multiplier method, 基本上只是找出可能極值發生處. 這與 stationary
: point 有關連性.
這麼說吧...
以兩變數的問題為例。
在 g(x,y)=0 條件下找 f(x,y) 的極大極小值,
可以考慮 f 的 level curves: f(x,y)=k。
所謂 "在 g(x,y)=0 條件下", 就是說: 不在
g(x,y)=0 圖形上的點不去考慮。
因此, f(x,y) 的極大極小值, 也就是找
g(x,y)=0 和 f(x,y)=k
有交點時 k 可以小到多小或大到多大?
例如: 在 x+y-4=0 條件下找 x^2+y^2 的最小值,
也就是找
x+y=4 與 x^2+y^2=r^2
有交點時, r^2 可小到多少?
就這個特例而言, 很容易看出那是
x+y=4 與 x^2+y^2=r^2
會相切時對應的 r^2。
在一般情形 (g(x,y)=0, f(x,y)=k) 也一樣, 我們
要找的 k 會使
g(x,y)=0 和 f(x,y)=k
相切。也就是: 兩曲線 (在切點) 的斜率會一樣。
再下來, 需要一點點向量的概念; 或者, 如果沒有
向量的概念也無妨, 但需要了解 "隱函數微分" 及
它和偏導數的關係。
如果不知向量, 就以隱函數微分和偏導數的關係來
談吧! f(x,y)=k 曲線上的一點 (a,b) 的斜率 dy/dx
滿足
Dxf(a,b) + Dyf(a,b)*(dy/dx) = 0
其中 Dxf, Dyf 分別是 f 在 x 軸方向與 y 軸方向
的偏導數。因此, 我們要找的點 (a,b) 會使
Dxf(a,b) + Dyf(a,b)*(dy/dx) = 0
與
Dxg(a,b) + Dyg(a,b)*(dy/dx) = 0
有共同的 dy/dx。而這事發生的條件是
Dxf : Dxg = Dyf : Dyg
也就是存在一個常數 c 使
Dxf=c*Dxg, Dyf=c*Dyg
c 就是 Lagrange 乘數了。
若知道向量, (當然仍免不了需要偏導數的概念)
則大概會知道: f(x,y)=k 在一點 (a,b) 的切線
法向量是
v = Dxf(a,b) i + Dyf(a,b) j
同樣的理由, g(x,y)=0 在 (a,b) 的法向量是
u = Dxg(a,b) i + Dyg(a,b) j
兩曲線相切於 (a,b), 則它們在切點的法向量平行,
也就是存在 c 使 v=cu, c 就是是 Lagrange 乘數。
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有些文章
阿肥只是轉po
有些文章
阿肥也看不懂
這篇就是其中一個例子
※ 編輯: FATTY2108 來自: 218.184.96.137 (08/05 01:42)