物理系微積分（上）第二次期中考試題 93年12月10日
１.求下列各不定積分
（a） ∫(㏑)^2 dx
（b） ∫secx dx
（c） ∫sin√x dx
（d） ∫3/(x^3+1) dx （20分）
２.擺線一拱γ:x=a(θ-sinθ) y=a(1-cosθ) 0≦θ≦2π
（a）試証:γ垂直x軸
（b）求γ與x軸所圍領域的面積 （15分）
３. π 1
（a）0＜ｋ＜1 求∫ ----------dθ 之值
0 1-ｋcosθ
（b）P為單位圓內一固定點 ＯＰ=r Q在圓周上移動 如圖所示
2π 1
（沒辦法畫＝＿＝，不過沒有圖也能做） 求∫ --------dθ （15分）
0 ＰＱ
４.就以下（a）、（b）兩題擇一
（a）作y=1/10(x^6-3x^2)的圖形 示其極值點、反曲點、及凹凸區間
（b）作f(x)=x^2-2xsinx+cosx 的圖形 証明f(x)=0恰有四相異實根 （15分）
→
５.設Ｏ為光源，Ｐ為桌面上某點，令θ=ＯＰ與鉛垂線間的夾角，已知Ｏ對Ｐ點的
→ 2 照明度與ＯＰ 成反比，與cosθ成正比。今欲在半徑為ａ的圓桌中心點上方懸
一燈，使燈對桌緣有最大照明，求登到桌面的高度？ （15分）
６. tanθ1+tanθ2+tanθ3 θ1+θ2+θ3
（a）θ1、θ2、θ3 [0，π/2) 試証----------------------≧tan--------------
3 3
（b）試証:單位圓之諸外切三角形中，以正三角形面積為最小 （15分）
７.ｆ、ｇ在[a，b]上Riemann可積分
試証:ｆ、ｇ 在[a，b]上Riemann可積分 （20分）
８. sinx
（a）f(x)=------ 試証:ｆ在(0，π)上嚴格遞減
x
π sinx
（b）決定ｋ之值使∫│------ － ｋ│dx 最小 （15分）
0 x
↑
sinx
（注意:∫------dx 非基本函數，不要試圖積分它）
x
ps.原本還有圖形，畫不出來
９.
1 1 1
（a）試証:㏑ｎ＞--- + --- + ．．． + ---
2 3 ｎ
｛0 ； x無理數
｛
（b）f(x)=｛ 1 ｑ
｛--- ； x=---- ｐ、ｑ互質
｛ｐ ｐ
試証:ｆ在[0，1]上Riemann可積分，並求其積分值 （15分）
（以上九題，任選八題作答）
我的天阿，終於打完了...還以為這份題目應該最好打＝＿＝||
有空的話在把上學期第一次、第三次，還有這學期第一次的題目貼上來^_^
（※這是楊老大的考題 老大已經退休了：p）
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