（b）P為單位圓內一固定點 ＯＰ=r Q在圓周上移動 如圖所示
2π 1
（沒辦法畫＝＿＝，不過沒有圖也能做） 求∫ --------dθ （15分）
0 ＰＱ
先廢話一下......
這題整整花了我一天的時間,從昨天一直到今天早上......
剛剛把他解出來的心情真的是難以言喻.....
解出來以後才發現為什麼這是物理系的微積分考題........
而且他只有15％的分數...
其實我希望常出沒在這邊的人可以挑戰一下.....
真的解出來的時間應該只要十到十五分鐘就可以了.....
最大的重點..........
"積分技巧絕對不是重點"
切記這只是出給物理系的,不是數學系阿......
廢話結束.......
以下的解答是給真的想破頭的人參考.....
也請指教......^^
請先畫圖......
→
PQ 角度為α
先將P點設在(r,0), Q點假設為(cosθ,sinθ) =(Qx,Qy)
→ 2 2 (1/2) 2 (1/2)
|PQ| = ((r-cosθ) +sin θ) =(1+r -2rcosθ)
並設所求∫ 1/PQ dθ = I
2
∫ PQ dθ = π* 1 /θ繞一圈,PQ剛好掃過整個單位圓/
(0,2π)
2
π = ∫ PQ dθ = ∫ PQ /PQ dθ
2
= ∫(1+r -2rcosθ) / PQ dθ /請容許我省略一些打字/
2 2 (1/2)
= (1+r )*I -2r ∫cosθ/(1+r -2rcosθ) dθ
2
= (1+r )*I -2r*J -----------------------(1)
請對照著圖來看下面的式子
2 (1/2)
J = ∫cosθ/(1+r -2rcosθ) dθ
= ∫ Qx/PQ dθ
= ∫ (Qx-r+r)/PQ dθ
= ∫ (Qx-r)/PQ dθ + ∫r/PQ dθ
= ∫ (Qx-r)/PQ dθ + r*I
= ∫ cosα dθ + r*I
/θ範圍是(0,2π),從圖可以知道α範圍也是(0,2π)＆當θ=0時α=0,當θ=2π時α=2π/
/ /
/而且對於所有的θ都可以找到一個α與之對映,所以我大膽的把α代替θ/
= ∫ cosα dα + r*I
(0,2π)
= 0 + r*I
將J帶回原來式子(1)
則
2
π = (1+r )*I - 2r*(r*I)
2
= (1-r )*I
2
I = π/(1-r )
請指教........^^
※ 編輯: turt 來自: 140.136.30.142 (05/05 12:36)