※ 引述《turt (小天)》之銘言：
: （b）P為單位圓內一固定點 ＯＰ=r Q在圓周上移動 如圖所示
: 2π 1
: （沒辦法畫＝＿＝，不過沒有圖也能做） 求∫ --------dθ （15分）
: 0 ＰＱ
π 1
這題他題目好像有點怪 (a)求的是∫ ----------- dθ
0 1 - kcosθ
2π １
(b) 要求 ∫ ------ dθ
0 ＰＱ
____2
可是 ＰＱ = 1 + r^2 - 2rcosθ
2π 1 2π 1
(b) = ∫ ------ dθ = ∫ ---------------------- dθ
0 ＰＱ 0 √{1 + r^2 - 2rcosθ}
這坨是什麼??..積得出來嗎??..而且跟(a)好像也沒什麼關係..
如果(b)是
2π 1 2π 1
∫ ----------- dθ = ∫ -------------------- dθ
0 ▕ＰＱ▕^2 0 1 + r^2 - 2rcosθ
就可以直接套(a)的結果了
超詭異的..
: 先廢話一下......
: 這題整整花了我一天的時間,從昨天一直到今天早上......
: 剛剛把他解出來的心情真的是難以言喻.....
: 解出來以後才發現為什麼這是物理系的微積分考題........
: 而且他只有15％的分數...
: 其實我希望常出沒在這邊的人可以挑戰一下.....
: 真的解出來的時間應該只要十到十五分鐘就可以了.....
: 最大的重點..........
: "積分技巧絕對不是重點"
: 切記這只是出給物理系的,不是數學系阿......
: 廢話結束.......
: 以下的解答是給真的想破頭的人參考.....
: 也請指教......^^
: 請先畫圖......
: →
: PQ 角度為α
: 先將P點設在(r,0), Q點假設為(cosθ,sinθ) =(Qx,Qy)
: → 2 2 (1/2) 2 (1/2)
: |PQ| = ((r-cosθ) +sin θ) =(1+r -2rcosθ)
: 並設所求∫ 1/PQ dθ = I
: 2
: ∫ PQ dθ = π* 1 /θ繞一圈,PQ剛好掃過整個單位圓/
: (0,2π)
: 2
: π = ∫ PQ dθ = ∫ PQ /PQ dθ
: 2
: = ∫(1+r -2rcosθ) / PQ dθ /請容許我省略一些打字/
: 2 2 (1/2)
: = (1+r )*I -2r ∫cosθ/(1+r -2rcosθ) dθ
: 2
: = (1+r )*I -2r*J -----------------------(1)
: 請對照著圖來看下面的式子
: 2 (1/2)
: J = ∫cosθ/(1+r -2rcosθ) dθ
: = ∫ Qx/PQ dθ
: = ∫ (Qx-r+r)/PQ dθ
: = ∫ (Qx-r)/PQ dθ + ∫r/PQ dθ
: = ∫ (Qx-r)/PQ dθ + r*I
: = ∫ cosα dθ + r*I
: /θ範圍是(0,2π),從圖可以知道α範圍也是(0,2π)＆當θ=0時α=0,當θ=2π時α=2π/
: / /
: /而且對於所有的θ都可以找到一個α與之對映,所以我大膽的把α代替θ/
: = ∫ cosα dα + r*I
: (0,2π)
: = 0 + r*I
: 將J帶回原來式子(1)
: 則
: 2
: π = (1+r )*I - 2r*(r*I)
: 2
: = (1-r )*I
: 2
: I = π/(1-r )
: 請指教........^^
: ※ 編輯: turt 來自: 140.136.30.142 (05/05 12:36)
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