[考古題解答] 台大93(a)

[Cayley (水色天藍)]

響應版主大大建立考古答案查訊系統的計畫

雖然放榜後有點失意,不過還是把自己寫的答案拿出來給大家參考參考好了



恩...答案可能不一定是正確的...有可能會有計算上的失誤之類的...

(而且我只考了57分...>"<...)

所以不對之處還請大家多多修正^^


(1)

把f微兩次

得到

x^(k-2) k^2 sin(1/x)-
x^(k-2) k sin(1/x)-
2 x^(k-3) k cos(1/x)-
x^(k-4) sin(1/x) +
2 x^(k-3)cos(1/x)

所以 k > 4

(2)

(a)

兩線交點是 (0.0) 和 (0.2Pi)

所以 假設 曲線向量 C = (x(t) , y(t)) = (t-sin(t) , 1-cos(t))

切向量 C'(t) = dC(t)/dt =( 1-cos(t) ,  sin(t) )

x軸的方向向量(1,0)

<C'(0) , (1,0)> = 0    且   <C'(2Pi) , (1,0)> = 0

所以垂直   (註解:<a,b>是內積)

(b)

A = S y dx =  S   (1-cos(t))^2 dt = 3 Pi
          [0,2Pi]

(c)

殼層法 (2*Pi*r dr )* 高

V = S 2 Pi x y dx = 2 Pi S (t-sin(t))*(1-cos(t))^2 dt

 = 6 Pi^3

(3)

(a)

A=  S  f(t) ||ds||
 [a,b]

s=(x,y) => ds = (dx,dy) => ||ds||= ||(x',y')|| dt

(b)

上下兩半對稱...

令 x=1/2 sin(t)                 x'=-1/2 sin(t)
                         =>                     =>  ||(x',y')|| = 1/2
  y=1/2 + 1/2 cos(t)           y'=1/2 cos t

所以 面積 =   2 * S    sqrt(1-x^2-y^2) * 1/2 dt
               [0,2Pi]

(上下對稱乘兩倍)

         =   S sqrt(1/2-1/2cos(t)) dt

(兩倍角公式)

        =   S sin(t/2) dt = 1/2 [-cos(t/2)] t=0~2Pi

        =1/2 * -2 = -1

ㄟ...可是我記得我考試好像算出來是証的...

糟糕...算兩次兩次答案差正副號@@    (可是我懶的驗算了^^)

(4)

(a)

sin(x) = Sum (-1)^(k+1) x^(2k-1)/(2k-1)!

sin(x)/x = Sum (-1)^(k+1) x^(2k-2)/(2k-1)!

(b)

 S   sin(x)/x dx = 1 - 1/3! + 1/5! - 1/7! + ...
[0,1]

因為 7!=5040 > 10^3

所以取到 1/7! 這項

積分值 ~ 1 - 1/3! + 1/5! - 1/7!

(c)   基本上題目出錯了^^...

     (1/n < 1/(n+1) 基本上要証的東西就是矛盾的...因為他出反了^^)

| S sin(x)/x dx | = S |sin(x)|/x dx

又      S      | sin(x) | dx = 2
 [nPi,(n+1)Pi]

因為x屬於[nPi,(n+1)Pi]

有 nPi < x < (n+1)Pi   =>   1/(n+1)Pi < 1/x < 1/nPi

同乘 |sin(x)| 然後積分 [nPi,(n+1)Pi]

得到 2/(n+1)Pi < an < 2/nPi

an---->0  as n--->infinity  (夾擠定理)

(5)

基本上這題有很多種做法...

(a)

法一:

因為他是無旋場...所以圍線可以變形為 x^2+y^2=a^2 for all a>0

用暇積分的做法...做完積分在取 a---->0

會得到2Pi

法二:

令 x=r cos(t)

  y=r sin(t)

對得到 積分 = S dt
              C

所以是2Pi

(逆時針為2Pi 順-2Pi)

(b) 0

(c)順時針 Pi

  逆時針 -Pi

[可以直接用initial和final的t值計算出來]


(6)

(a)

假設u為單位向量

f在(x_0,y_0)上u方向的方向導數 = < grad(f)(x_0,y_0) , u >

剛好也 = 向量 grad(f) 在u方向的投影

也就是 <grad(f)(x_0,y_0) , u > = ||grad(f)(x_0,y_0)|| cos(t)

當t=0時 最大

(b)

假設 a,b 屬於 C_k

則 f(b)-f(a) = < grad(f),b-a >

   k  -  k  = 0

所以 < grad(f),b-a > = 0  => 垂直

(7)

Taylor公式告訴我們

f(x+h,y+k) - f(x,y) = df(x,y) + d^2f(x_0,y_0)

其中

df(x,y) = < grad(f)(x,y) , (h,k) >

d^2f(x_0,y_0) = (h d/dx + k d/dy)^2 f   (x_0,y_0)

條件:

(1) grad(f)(x,y)= (0,0)

(2) d^2 f(x,y) > 0

證明:

因為極值發生在df=0點或是不連續點

只要df連續,就可以使用夾擠定理證明(1)成立

因為d^2f連續 所以有 d^2f(x,y)>0  <=>  d^2f(x_0,y_0)>0

所以 f(x+h,y+k) - f(x,y) > 0

也就是在點(x,y)的附近(x+h,y+k) 取值 都會比那個點大

所以有極小值

(8)

(a)

f(a) =    S    a-x^2 dx   +      S    x^2-a dx
     [0,根號a]              [根號a,1]

   = 4/3 a^(3/2) - a + 1/3

可得到 f'(a)=2根號a-1=0  =>  a=1/2

(b)

用柱座標代換

得到 g(x,y) = x^2+y^2-a = g(r,t) = r^2 - a

f(a)=SS g(x,y)dxdy=SS g(r,t) r drdt

   = 2Pi[1/2 a^2 - 1/2 a + 1/4 ]

f'(a) = 2Pi[a-1/2] =0    =>   a=1/2

(9)

(a)

f(x) = S exp(-t^2) dt / exp(-x^2)

當x---->infinity 為 0/0 型

使用L'hospital

lim f(x) = lim exp(-x^2)/-2x exp(-x^2) =lim 1/-2x = 0

(b)

f'(x)=-1 + 2x exp(x^2) [S exp(-t^2) dt ]

(c)

f'=-1+S x exp(x^2-t^2) dt < -1 + S t exp(x^2-t^2) dt < 0

所以...f is decreasing

(10)

(a)

u = sqrt(2) x - 1/2 x^2

v = y / [ sqrt(2) -x ]

(b)

因為

   | grad u |
det |        | = 1
   | grad v |

所以

SS dxdy = SS dudv







請大家多多指教^^







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◆ From: 210.64.63.97
推 FreemanZ:考題釋出拉?
推 Cayley:恩...網上有題目啦^^
推 Cayley:改天有空在來po91-84年的吧^^
→ efmouse:我好奇F大考幾分?
推 FreemanZ:53 輸cayley 4分
推 MrRepley:sorry 小弟不懂什麼是 sqrt??
→ MrRepley:第三題的(b)我算pi耶?...怎麼差這麼多.謝!
推 efmouse:sqrt--> square root