Re: [積分] 再兩題代換

[ting301 (看著你掙扎)]

※ 引述《mmmbop (隨. 緣. 轉. 念.)》之銘言：
:              cosx dx
: [π/2,0]  ∫----------
:            1+cosx+sinx

       x                   2z               1 - z^2              2
令 tan--- = z ， sinx = ---------， cosx = -----------， dx = --------dz
       2                 1 + z^2            1 + z^2             1+z^2


原式

             1 - z^2        2
            --------- x ----------
             1 + z^2     1 + z^2
= S --------------------------------- dz
             1 - z^2         2z
      1 +  -----------  + ---------
             1 + z^2       1 + z^2



     1 - z^2        1
= S --------- x --------- dz
      1 + z      1 + z^2


      1 - z
= S ----------dz
     1 + z^2

                       2
令 z = tanA ， dz = sec A dA

   1 - tanA      2
S ----------- sec A dA
          2
   1 + tan A



= S 1- tanA dA

= A + ln(cosA)

     -1              1
= tan  z  - ln--------------
               √(z^2 + 1)

     -1       1
= tan  z  -  ---ln(z^2 + 1)
              2

     -1     x        1        x  2
= tan  tan ---  -   ---ln(tan---)  + 1    定積分[π/2,0]
            2        2        2

      -1    π    1        π  2              -1     1
= [tan  tan--- - ---ln(tan---) + 1]  -  [ tan  0 - ---ln1]
            4     2        4                        2

     -1     1
= tan  1 - ---ln(1+1) - 0 +0
            2

   π      1
= ---  -  ---ln2........##
   4       2


:                dx
: [π/2,0]  ∫----------
:             1+cosx+sinx
: 以上兩題書上答案竟然一樣是π/4  - 0.5ln[2]
: 我覺得好像不對。
: 我算的答案第一題 -0.5 第二題發散 -∞-ln[2]
: >"<

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推 mmmbop:Orz