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│ 文章代碼(AID): #1IYw-Bmj (trans_math) [ptt.cc] [極限] 夾擠定理求解 │
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作者: BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴) 看板: trans_math
標題: [極限] 夾擠定理求解
時間: Wed Nov 20 02:35:52 2013
這篇不是要問問題啦XD
是我打算把數學板一些不錯的題目慢慢地在這建檔0.0
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Show that lim xlnx = 0 without L'hospital Rule
x->0+
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Let x = e^(-t)
lim xlnx = lim (-t)e^(-t) = - lim t/e^t
x->0+ t->∞ t->∞
Note that e^t > t^2/2, and t/e^t > 0 for x > 0
0 < t/e^t < 2/t, lim 2/t = 0
t->∞
By The Squeeze Theorem
lim xlnx = 0
x->0+
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關於 e^t > t^2/2
令 f(x) = e^x - (x^2/2)
f'(x) = e^x - x > 0 for x > 0
故 f(x) 為一遞增函數, 且 f(0) = e^0 - 0 = 1 > 0
f(x) = e^x - (x^2/2) > 0 在 x > 0 恆成立
故知 e^x > x^2/2
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◆ From: 114.46.117.24
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作者: profyang (prof) 看板: Math
標題: Re: [微積] lnx極限
時間: Wed Nov 20 10:37:28 2013
※ 引述《kevin10630 (威猛先生)》之銘言：
: 證:
: lim xlnx = 0
: x→0+
: 要用夾擠定理證明
: 爬過文只有羅畢達證法
: 希望版友幫個忙
回一下好了
首先前面已經有人推過lnx<x==>xlnx<x^2 (x>0)
這應該沒錯我就先不證了 重點是夾擠的左邊
我是用-1/√x<lnx==>-√x<xlnx for x>0
證明：
令f(x)=lnx-(-1/√x)=lnx+1/√x
f'=1/x*(1-1/(2√x)) 在x=1/4時有極值
f''=-1/(x^2)*(1-3/(4√x)) 在x=1/4時f''>0
故在x=1/4有最小值
f(1/4)=-2ln2+2=2(1-ln2)>0 (e>2)
故f恆正==>-1/√x<lnx
==>x*(-1/√x)<xlnx<x^2 for x>0
由夾擠定理可得:
lim xlnx = 0
x->0+
一般直覺不是會想用x^k這種東西去夾lnx嗎?@@
感覺就很好夾( ￣▽￣)───C＜─___-)|||
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正妹也只不過是一組物質波方程的特解罷了( ￣ c￣)y▂ξ
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